第四章 · 乘除起落符号定音卷首语负负得正恰如双重否定等同于肯定。对立事物的反向叠加最终会回归正向结果。4.5 测量与进制刻度精度与逢几进一科学记数法的推演结束之后三人收拾好草稿纸程远合上习题册正要起身把水杯放回厨房林默忽然开口抛出了自己心里琢磨许久的疑问。“科学记数法能把超大整数简写但如果数字不是完全精准的整数像是尺子量出来的长度、四舍五入得到的估算值这种带误差的数字该怎么规范记录”苏晚随手翻着地理课本附录页面上罗列着各大洲面积每一栏数据末尾都标注着“近似值”三个字。她指尖点着纸面顺势接话“这类都属于近似数现实里很难拿到毫无误差的精准数字我们只能根据需求记录近似结果。”程远停下动作重新拉过椅子坐回桌边顺着两人的思路往下引导。“刚才我们用科学记数法记录日地距离写成1.5×1081.5\times10^81.5×108而非完整的1.50000000×1081.50000000\times10^81.50000000×108你们有没有思考过末尾多余的零为什么不需要全部写出来”苏晚微微蹙眉“难道那些末尾的零没有实际意义”“关键就在于区分有效数字和无意义占位零。”程远拿起笔在草稿纸上写下两组数字“一个数从左边第一个非零数字起到末尾最后一个数字止所有数字都叫有效数字。举个测量的例子用普通直尺量木条读数333厘米末尾不用补零有效数字只有111个但换精度更高的游标卡尺测出3.003.003.00厘米小数点后的两个零不能删掉它们代表测量工具能精准到0.010.010.01厘米是有效数字的一部分。333和3.003.003.00在数值大小上相等但精确度完全不同。”苏晚低头回看自己之前演算的科学记数法算式瞬间反应过来。她写下1.5×1081.5\times10^81.5×108和1.50×1081.50\times10^81.50×108两组式子对比“课本只要求把大数写成a×10na\times10^na×10n(1≤a10)(1\le a10)(1≤a10)但aaa保留几位小数不是固定规则是由原始数据的精度决定的。如果原始测量只能精确到千万位就只写1.51.51.5有效数字222个若能精确到百万位就要写成1.501.501.50有效数字333个。科学记数法里aaa的取值保留了原始数据前几位的有效数字。”“所以科学记数法的书写规范也要贴合近似数的精度要求”林默追问。表1近似数与有效数字对比表近似数精确到有效数字个数说明3个位1普通直尺测量只精确到厘米3.0十分位2精度提升可读至毫米3.00百分位3游标卡尺测量精确到0.01厘米1.5 × 10⁸千万位2日地距离粗略值1.50 × 10⁸百万位3日地距离较精确值1.500 × 10⁸十万位4日地距离更精确值程远没有直接给出定论提笔在纸上画出一条等分十格的线段代表000到111的区间。“这条线段平分十份每一小格是0.10.10.1如果把每一小格再平分十份最小刻度就变成0.010.010.01继续细分刻度会精确到0.0010.0010.001。我们日常计数、测量使用的十进制就是依靠这种满十分级的规则划分小数。”他擦掉线段单独画出数位竖线从上至下标注百位、十位、个位小数点后依次是十分位、百分位、千分位。“十进制核心规则是逢十进一相邻两个数位之间高位数字是低位的101010倍。小数点向左移动一位数值缩小十倍向右移动一位数值扩大十倍科学记数法里的10n10^n10n本质就是批量移动小数点。”林默盯着完整的数位序列恍然大悟个位、十位、百位是整数进位十分位、百分位是小数进位小数点只是区分整数和小数部分的标记整套数字体系共用一套进位逻辑。苏晚立刻在笔记本上整理总结小数点右移一位原数×10原数×10原数×10小数点左移一位原数÷10原数÷10原数÷1010n10^n10n对应小数点向右移动nnn位适配超大近似数简写“所有测量得到的近似数全部依托十进制记录。”程远继续讲解“我们没法做到无限精准测量最终读数只会停留在尺子最小刻度对应的数位上。刻度是厘米就精确到个位刻度是毫米就精确到十分位精度完全由测量工具决定。”林默拿起笔在0~1的线段上逐层细分刻度先标出0.10.10.1再细分出0.110.110.11接着画出0.1110.1110.111。笔尖顿住他抬头说出自己的理解“尺子刻度分得越细测量近似数就越精准但任何实物尺子都有最小刻度不可能无限细分。”“这也是近似数存在的原因。”程远轻轻点头“现阶段我们只需要掌握十进制下有限小数的近似数数轴区间内存在无数小数我们根据精度需求四舍五入选取合适的近似值即可。”他放缓语速梳理本节前半段核心逻辑“十进制是我们通用的计数、测量规则尺子的最小刻度决定近似数精确到哪一位而科学记数法是记录高精度超大近似数的简便书写工具三者是一套完整的数字应用逻辑。”苏晚提笔在笔记本写下核心笔记近似数的精确数位由测量工具的刻度决定有效数字的个数反映测量能够达到的精度。林默反复对照数位线和细分刻度把十进制进位、小数点移动、近似数精度、科学记数法简写四者的关联全部理顺。程远看两人吃透十进制与近似数顺势翻开课本末尾《进位制的认识与探究》综合实践页面轻轻推到两人面前“十进制只是众多计数规则里的一种课本拓展板块还介绍了其他进位制它们共享同一个核心逻辑——逢基数进一数字是几进制它的基数就是几。”他拿起笔顺着纸面分模块讲解不同进制1. 十进制日常生活通用基数为101010规则逢十进一可用数字0、1、2、3……90、1、2、3……90、1、2、3……9相邻数位的倍率是101010。我们记录身高、计算账目、书写科学记数法全部依靠十进制前面学的小数点移动、大数简写都是十进制的衍生用法。2. 二进制计算机底层专用基数为222规则逢二进一只存在0、10、10、1两个可用数字。电子元件只有通电、断电两种状态刚好对应000和111电脑里的文字、图片、软件底层全部由一串二进制数字组成。程远用规范的进制下标标注出简单对应关系01002,11012,210102,310112,41010020_{10}0_2,\quad 1_{10}1_2,\quad 2_{10}10_2,\quad 3_{10}11_2,\quad 4_{10}100_2010​02​,110​12​,210​102​,310​112​,410​1002​随后又画了一张完整对照表方便两人直观观察进位规律表2十进制 ↔ 二进制 · 对照与权重展开十进制二进制0011210311410051016110711181000林默一行一行扫过对照表目光停在4→100、7→111、8→10004→100、7→111、8→10004→100、7→111、8→1000的位置看了一会儿才开口“逢二进一每次满222就往左进一位跟十进制满101010进一位的规则一模一样。”程远点了点头顺势补充通用权重规则“不管哪一种进制每一位的权重都是基数的乘方。从右往左数第一位是基数0基数^0基数0第二位是基数1基数^1基数1依此类推。十进制用101010的乘方二进制就用222的乘方。”表3十进制 ↔ 二进制 · 权重展开十进制二进制权重展开从右往左2⁰ 2¹ 2²…00—111 × 2⁰ 12101 × 2¹ 0 × 2⁰ 23111 × 2¹ 1 × 2⁰ 341001 × 2² 0 × 2¹ 0 × 2⁰ 451011 × 2² 0 × 2¹ 1 × 2⁰ 561101 × 2² 1 × 2¹ 0 × 2⁰ 671111 × 2² 1 × 2¹ 1 × 2⁰ 7810001 × 2³ 0 × 2² 0 × 2¹ 0 × 2⁰ 8“那是不是可以用乘方把二进制转回十进制”苏晚立刻拿起笔在对照表右侧写下完整换算示例101121×230×221×211×20802111101011_21\times2^30\times2^21\times2^11\times2^0802111_{10}10112​1×230×221×211×2080211110​她看着自己写下的等式恍然大悟“原来进制转换只是更换乘方的底数和科学记数法拆分大数的思路相通。”“没错转换进制本质就是换一套底数做乘方运算。”林默顺着她的话总结。3. 生活里的其他实用进制六十进制计时标准60秒换算1分钟60分钟换算1小时十二进制钟表、纪年钟表一圈12小时一年分为12个月。表4常见进位制速览表进位制基数进位规则可用数字生活应用十进制10逢十进一0 1 2 3 4 5 6 7 8 9日常计数、账目、科学记数法二进制2逢二进一0 1计算机存储与运算六十进制60逢六十进一0 ~ 59时间秒、分、角度十二进制12逢十二进一0 ~ 11钟表12小时、月份12个月每一种进制都是人们根据生活需求人为约定的底层满基数进位的逻辑不会改变。讲完近似数、各类进位制的全部基础内容窗外天色慢慢变暗程远起身准备回隔壁房间留下过渡铺垫“近似数、各类进位制、科学记数法、乘方乘除的基础规则我们全部梳理完毕下一节我们整合所有运算学习有理数混合运算的固定先后顺序。”苏晚没有合上笔记本笔尖还在纸上标注近似数、进制两类知识点的易错点林默把画满刻度、数位线、二进制进位示例的草稿纸折好夹进数学课本。房间里只剩笔尖划过纸张的细碎声响窗外晚风轻轻掀动桌角演算纸的边缘。4.5 练习与思考A组 · 基础巩固请说出下列各近似数的有效数字个数并指出精确到哪一位13.143.143.1425.05.05.032.5002.5002.50041.20×1041.20\times10^41.20×104近似数精确到百分位代表数字最后一位落在______位。用四舍五入法按要求取近似值13.141593.141593.14159精确到百分位22.718282.718282.71828精确到千分位30.66660.66660.6666精确到十分位十进制转二进制方法提示将数字反复除以2记录余数从下往上读取余数即为二进制。完成转换并写出简要步骤15105_{10}510​29109_{10}910​B组 · 能力提升判断正误错误请写出正确结论1精确到0.10.10.1和精确到0.100.100.10的精确度完全相同23.03.03.0和333数值大小相等精确度一致3科学记数法1.20×1041.20\times10^41.20×104有333个有效数字结合测量场景说明同一个物体的测量长度为什么能写出多种不同精确度的近似数结合本节课知识点简答十进制与二进制的核心相同点、不同点分别是什么C组 · 拓展思考在0到1之间不断细分十进制刻度区间内可以写出多少个小数结合数轴知识简单说明。生活应用题举一个日常测量的实例说明近似数的精确数位由测量工具决定。拓展思考计算机选择二进制而非十进制存储数据结合“逢二进一”和电子元件的特性简单分析原因。4.5 章节过渡伏笔苏晚合上笔记本前在页边空白画了一条无刻度数轴中间点出一个代表测量数值的小点又向右侧轻轻延长一小段短线标注出近似值的误差范围。林默在草稿纸角落写下二进制数字1、10、11、1001、10、11、1001、10、11、100旁边标注“逢二进一乘方转换”。两人整理好全部演算草稿脑海里已经集齐有理数加减、乘除、乘方、科学记数法、近似数、进位制全部基础知识点只差一套统一的运算优先级规则为下一节有理数混合运算做好铺垫。