物理方程求解太复杂DeepXDE如何用5个步骤让你的科学机器学习之路变简单【免费下载链接】deepxdeA library for scientific machine learning and physics-informed learning项目地址: https://gitcode.com/gh_mirrors/de/deepxde还在为复杂的偏微分方程求解而烦恼吗想象一下你正在研究流体力学、热传导或量子力学问题传统的数值方法需要复杂的网格划分、繁琐的边界条件处理还要担心数值稳定性。这时候DeepXDE出现了——这个强大的科学机器学习库正在改变物理建模的游戏规则。DeepXDE是一个专门为科学机器学习设计的开源库它让物理信息神经网络PINN和深度算子网络DeepONet变得触手可及。无论你是科研人员、工程师还是机器学习爱好者DeepXDE都能将深度学习与物理定律无缝融合让你的物理建模工作变得前所未有的简单高效。从这太难了到原来如此简单一个研究者的真实心路历程我曾经花了三个月调试一个有限元模型现在用DeepXDE三天就解决了同样的问题。当你第一次面对复杂的物理问题时可能会感到无从下手。传统数值方法需要深厚的数学功底和编程技巧而DeepXDE的出现彻底改变了这一现状。让我带你走过一个典型研究者的心路历程阶段一问题识别与绝望感 你遇到了一个复杂的物理问题——比如一个带热源的非线性热传导方程。传统的求解方法需要复杂的网格生成和有限元分析繁琐的边界条件处理数值稳定性调整大量的调试时间这时候你可能会想有没有更简单的方法阶段二发现DeepXDE的惊喜时刻 当你偶然发现DeepXDE时你会发现它提供了一个完全不同的思路# 只需要几行代码就能定义物理问题 import deepxde as dde # 定义几何域和方程 geom dde.geometry.Interval(0, 1) def pde(x, y): dy_t dde.grad.jacobian(y, x, j1) dy_xx dde.grad.hessian(y, x, j0) return dy_t - dy_xx source_term(x) # 定义边界条件 bc dde.icbc.DirichletBC(geom, lambda x: 0, lambda x, on_boundary: on_boundary)阶段三从怀疑到信任的转变 刚开始你可能会怀疑这真的能行吗但当你运行第一个示例并看到结果时那种原来如此简单的感觉会让你彻底改变看法。DeepXDE的五大核心优势为什么它成为科学计算的首选DeepXDE支持TensorFlow、PyTorch、JAX和PaddlePaddle四大主流深度学习框架让你可以根据项目需求灵活选择优势一后端无关的灵活性你可能会问我应该用TensorFlow还是PyTorchDeepXDE的回答是都可以这种后端无关的设计意味着无需重写代码同一套代码可以在不同框架上运行充分利用现有技能使用你最熟悉的深度学习框架灵活切换根据项目需求随时更换后端优势二物理约束的自然表达传统的数值方法需要将物理方程离散化而DeepXDE让物理约束的表达变得异常自然# 物理方程就像数学公式一样直观 def navier_stokes(x, y): u, v, p y[:, 0:1], y[:, 1:2], y[:, 2:3] # 连续性方程 u_x dde.grad.jacobian(u, x, i0, j0) v_y dde.grad.jacobian(v, x, i0, j1) continuity u_x v_y # 动量方程 u_xx dde.grad.hessian(u, x, i0, j0) # ... 其他项 return [continuity, momentum_x, momentum_y]优势三复杂几何的轻松处理还在为复杂几何域的网格生成而头疼吗DeepXDE提供了多种几何处理方式# 基本几何 circle dde.geometry.Disk([0, 0], 1) rectangle dde.geometry.Rectangle([-2, -2], [2, 2]) # 组合几何带孔的板 plate_with_hole rectangle - circle # 甚至可以用点云定义任意形状 points np.random.rand(100, 2) point_cloud dde.geometry.PointCloud(points)优势四多精度数据融合能力当你有不同精度的数据源时比如粗糙的模拟数据和精确的实验数据DeepXDE的多保真神经网络MFNN能帮你充分利用所有信息。优势五卓越的可扩展性DeepXDE的并行计算性能表现展示弱缩放和强缩放的高效性五个实际场景看看DeepXDE如何解决真实问题场景一一维热传导方程的快速求解假设你需要求解一个简单的一维热传导问题。传统方法需要编写复杂的数值求解器而DeepXDE只需要import deepxde as dde import numpy as np # 定义问题 geom dde.geometry.Interval(0, 1) timedomain dde.geometry.TimeDomain(0, 1) geomtime dde.geometry.GeometryXTime(geom, timedomain) def pde(x, y): dy_t dde.grad.jacobian(y, x, j1) dy_xx dde.grad.hessian(y, x, j0) return dy_t - dy_xx # 构建模型并训练 layer_size [2] [32] * 3 [1] net dde.nn.FNN(layer_size, tanh, Glorot uniform) model dde.Model(data, net) model.compile(adam, lr0.001) model.train(iterations10000)场景二Stokes流体力学问题DeepXDE求解Stokes方程的结果展示真实解与预测解的高度一致性对于更复杂的流体力学问题DeepXDE同样表现出色。Stokes方程描述了低雷诺数下的流体运动在微流控和生物流体力学中有广泛应用。场景三算子学习与函数映射当你需要学习从源项到解的映射时DeepONet提供了强大的解决方案# 创建DeepONet学习算子 branch_net dde.nn.FNN([100, 50, 50], relu, Glorot normal) trunk_net dde.nn.FNN([1, 50, 50], relu, Glorot normal) deeponet dde.nn.DeepONet(branch_net, trunk_net, Glorot normal, [50])场景四参数反演问题在工程实践中经常需要根据观测数据反推物理参数。DeepXDE让这类逆问题变得简单# 定义未知参数 C dde.Variable(1.0) # 待求解的参数 def pde(x, y): dy_xx dde.grad.hessian(y, x) return -dy_xx - C * dde.backend.sin(np.pi * x) # 训练时会同时优化神经网络参数和物理参数C场景五多物理场耦合问题对于涉及多个物理场的复杂问题DeepXDE提供了灵活的建模能力def coupled_pdes(x, y): # y包含温度场和浓度场 T, C y[:, 0:1], y[:, 1:2] # 热传导方程 heat_eq dde.grad.jacobian(T, x, j0) - alpha * dde.grad.hessian(T, x) # 扩散方程 diffusion_eq dde.grad.jacobian(C, x, j0) - D * dde.grad.hessian(C, x) return [heat_eq, diffusion_eq]避开常见陷阱DeepXDE使用中的最佳实践陷阱一训练不收敛怎么办症状损失函数震荡或下降缓慢预测结果不准确。解决方案调整学习率策略使用学习率衰减增加训练点密度在关键区域增加采样点尝试不同的网络架构残差网络可能效果更好使用自适应采样让模型告诉你哪里需要更多训练点陷阱二边界条件难以满足症状边界处的误差明显大于内部区域。解决方案使用硬约束将边界条件直接编码到网络架构中增加边界权重给边界损失更高的权重调整采样策略在边界附近增加采样点密度陷阱三内存不足或训练太慢症状GPU内存溢出训练时间过长。解决方案减小批量大小使用混合精度训练启用多GPU并行训练使用梯度检查点技术从零到一的快速上手指南第一步环境准备5分钟# 创建虚拟环境 python -m venv deepxde-env source deepxde-env/bin/activate # 安装DeepXDE选择你喜欢的后端 pip install deepxde[tensorflow] # 或 deepxde[pytorch], deepxde[jax], deepxde[paddle]第二步运行第一个示例10分钟# 克隆项目 git clone https://gitcode.com/gh_mirrors/de/deepxde cd deepxde/examples/pinn_forward # 运行一维扩散方程示例 python diffusion_1d.py第三步修改示例解决你的问题30分钟复制一个最接近你问题的示例修改几何定义调整物理方程更新边界条件运行并观察结果第四步性能调优根据需要调整网络深度和宽度尝试不同的激活函数优化训练参数添加正则化项深度探索DeepXDE的高级功能DeepXDE的物理信息神经网络架构从问题定义到网络选择再到求解流程的完整工作流功能一物理信息神经网络PINNPINN是DeepXDE的核心它将物理定律直接编码到神经网络中# PINN的完整工作流程 geom dde.geometry.Interval(0, 1) # 1. 定义几何 pde lambda x, y: dde.grad.hessian(y, x) f(x) # 2. 定义方程 bc dde.icbc.DirichletBC(geom, g, boundary) # 3. 定义边界条件 data dde.data.PDE(geom, pde, bc) # 4. 创建数据对象 net dde.nn.FNN([1, 50, 50, 1], tanh) # 5. 构建神经网络 model dde.Model(data, net) # 6. 创建模型 model.compile(adam, lr0.001) # 7. 编译模型 model.train(iterations10000) # 8. 训练模型功能二深度算子网络DeepONetDeepONet物理信息深度算子网络架构用于解决更复杂的科学计算问题DeepONet专门用于学习函数到函数的映射在算子学习和复杂系统建模中表现出色# DeepONet学习积分算子 def generate_integral_data(): # 生成训练数据学习sin(kx)到其积分的映射 pass # 创建DeepONet模型 deeponet dde.nn.DeepONet(branch_net, trunk_net)功能三多保真度学习当你同时拥有高精度和低精度数据时MFNN能够智能地融合这些信息# 多保真度神经网络 mfnn dde.nn.MfNN( [2, 50, 50, 1], # 低保真网络 [2, 50, 50, 1], # 高保真网络 correlationlinear )功能四自动微分与高阶导数DeepXDE支持多种自动微分方法可以高效计算任意阶导数# 计算一阶导数 dy_dx dde.grad.jacobian(y, x, i0, j0) # 计算二阶导数Hessian矩阵 d2y_dx2 dde.grad.hessian(y, x, i0, j0) # 计算混合偏导数 d2y_dxdy dde.grad.jacobian(dy_dx, x, i0, j1)真实用户故事他们如何用DeepXDE改变工作方式故事一航空航天工程师的突破我们正在设计新一代飞机翼型传统CFD模拟需要几周时间。使用DeepXDE后我们能够在几小时内获得初步结果并且可以快速探索不同的设计参数。故事二生物医学研究者的发现在研究药物扩散时我们需要求解复杂的扩散-反应方程。DeepXDE不仅加速了求解过程还让我们发现了传统方法忽略的边界效应。故事三材料科学家的效率提升材料相变模拟通常需要复杂的相场模型。DeepXDE让我们能够快速测试不同的理论模型大大加速了新材料的设计过程。开始你的DeepXDE之旅下一步行动指南第一步学习资源官方文档深入阅读DeepXDE的完整文档示例代码研究examples/目录下的70多个示例社区讨论参与GitHub上的技术讨论第二步实践项目从简单开始先运行一维问题示例修改参数尝试改变方程系数或边界条件解决实际问题将DeepXDE应用到你的研究课题中第三步深入探索阅读论文了解PINN和DeepONet的理论基础贡献代码如果你有改进想法可以向项目提交PR分享经验在社区中分享你的使用经验常见问题解答Q: 我需要多少数学知识才能使用DeepXDEA: 基础的微积分和偏微分方程知识就足够了。DeepXDE会处理大部分复杂的数值计算细节。Q: DeepXDE能替代传统数值方法吗A: 不是替代而是补充。DeepXDE特别适合那些传统方法难以处理的问题或者需要快速原型设计的情况。Q: 训练神经网络需要大量数据吗A: 对于PINN你甚至不需要任何训练数据——物理方程本身就是数据。对于DeepONet需要一些函数对作为训练数据。Q: 计算资源要求高吗A: 基础问题可以在普通笔记本电脑上运行。对于大规模问题DeepXDE支持GPU加速和多GPU并行。结语让物理建模变得简单而强大DeepXDE正在改变科学计算的面貌。它将深度学习的强大能力与物理定律的严谨性相结合为研究人员和工程师提供了一个前所未有的工具。无论你是想快速验证一个物理假设还是需要解决复杂的多物理场问题DeepXDE都能提供高效的解决方案。它降低了科学机器学习的门槛让更多人能够探索物理世界的奥秘。现在就开始你的DeepXDE之旅吧从运行第一个示例开始逐步探索这个强大工具的无限可能。记住最好的学习方式就是动手实践——打开你的代码编辑器开始编写第一个物理信息神经网络。科学计算从未如此简单深度学习从未如此强大。这就是DeepXDE带给你的承诺和可能性。【免费下载链接】deepxdeA library for scientific machine learning and physics-informed learning项目地址: https://gitcode.com/gh_mirrors/de/deepxde创作声明：本文部分内容由AI辅助生成（AIGC），仅供参考 物理方程求解太复杂？DeepXDE如何用5个步骤让你的科学机器学习之路变简单
物理方程求解太复杂DeepXDE如何用5个步骤让你的科学机器学习之路变简单【免费下载链接】deepxdeA library for scientific machine learning and physics-informed learning项目地址: https://gitcode.com/gh_mirrors/de/deepxde还在为复杂的偏微分方程求解而烦恼吗想象一下你正在研究流体力学、热传导或量子力学问题传统的数值方法需要复杂的网格划分、繁琐的边界条件处理还要担心数值稳定性。这时候DeepXDE出现了——这个强大的科学机器学习库正在改变物理建模的游戏规则。DeepXDE是一个专门为科学机器学习设计的开源库它让物理信息神经网络PINN和深度算子网络DeepONet变得触手可及。无论你是科研人员、工程师还是机器学习爱好者DeepXDE都能将深度学习与物理定律无缝融合让你的物理建模工作变得前所未有的简单高效。从这太难了到原来如此简单一个研究者的真实心路历程我曾经花了三个月调试一个有限元模型现在用DeepXDE三天就解决了同样的问题。当你第一次面对复杂的物理问题时可能会感到无从下手。传统数值方法需要深厚的数学功底和编程技巧而DeepXDE的出现彻底改变了这一现状。让我带你走过一个典型研究者的心路历程阶段一问题识别与绝望感 你遇到了一个复杂的物理问题——比如一个带热源的非线性热传导方程。传统的求解方法需要复杂的网格生成和有限元分析繁琐的边界条件处理数值稳定性调整大量的调试时间这时候你可能会想有没有更简单的方法阶段二发现DeepXDE的惊喜时刻 当你偶然发现DeepXDE时你会发现它提供了一个完全不同的思路# 只需要几行代码就能定义物理问题 import deepxde as dde # 定义几何域和方程 geom dde.geometry.Interval(0, 1) def pde(x, y): dy_t dde.grad.jacobian(y, x, j1) dy_xx dde.grad.hessian(y, x, j0) return dy_t - dy_xx source_term(x) # 定义边界条件 bc dde.icbc.DirichletBC(geom, lambda x: 0, lambda x, on_boundary: on_boundary)阶段三从怀疑到信任的转变 刚开始你可能会怀疑这真的能行吗但当你运行第一个示例并看到结果时那种原来如此简单的感觉会让你彻底改变看法。DeepXDE的五大核心优势为什么它成为科学计算的首选DeepXDE支持TensorFlow、PyTorch、JAX和PaddlePaddle四大主流深度学习框架让你可以根据项目需求灵活选择优势一后端无关的灵活性你可能会问我应该用TensorFlow还是PyTorchDeepXDE的回答是都可以这种后端无关的设计意味着无需重写代码同一套代码可以在不同框架上运行充分利用现有技能使用你最熟悉的深度学习框架灵活切换根据项目需求随时更换后端优势二物理约束的自然表达传统的数值方法需要将物理方程离散化而DeepXDE让物理约束的表达变得异常自然# 物理方程就像数学公式一样直观 def navier_stokes(x, y): u, v, p y[:, 0:1], y[:, 1:2], y[:, 2:3] # 连续性方程 u_x dde.grad.jacobian(u, x, i0, j0) v_y dde.grad.jacobian(v, x, i0, j1) continuity u_x v_y # 动量方程 u_xx dde.grad.hessian(u, x, i0, j0) # ... 其他项 return [continuity, momentum_x, momentum_y]优势三复杂几何的轻松处理还在为复杂几何域的网格生成而头疼吗DeepXDE提供了多种几何处理方式# 基本几何 circle dde.geometry.Disk([0, 0], 1) rectangle dde.geometry.Rectangle([-2, -2], [2, 2]) # 组合几何带孔的板 plate_with_hole rectangle - circle # 甚至可以用点云定义任意形状 points np.random.rand(100, 2) point_cloud dde.geometry.PointCloud(points)优势四多精度数据融合能力当你有不同精度的数据源时比如粗糙的模拟数据和精确的实验数据DeepXDE的多保真神经网络MFNN能帮你充分利用所有信息。优势五卓越的可扩展性DeepXDE的并行计算性能表现展示弱缩放和强缩放的高效性五个实际场景看看DeepXDE如何解决真实问题场景一一维热传导方程的快速求解假设你需要求解一个简单的一维热传导问题。传统方法需要编写复杂的数值求解器而DeepXDE只需要import deepxde as dde import numpy as np # 定义问题 geom dde.geometry.Interval(0, 1) timedomain dde.geometry.TimeDomain(0, 1) geomtime dde.geometry.GeometryXTime(geom, timedomain) def pde(x, y): dy_t dde.grad.jacobian(y, x, j1) dy_xx dde.grad.hessian(y, x, j0) return dy_t - dy_xx # 构建模型并训练 layer_size [2] [32] * 3 [1] net dde.nn.FNN(layer_size, tanh, Glorot uniform) model dde.Model(data, net) model.compile(adam, lr0.001) model.train(iterations10000)场景二Stokes流体力学问题DeepXDE求解Stokes方程的结果展示真实解与预测解的高度一致性对于更复杂的流体力学问题DeepXDE同样表现出色。Stokes方程描述了低雷诺数下的流体运动在微流控和生物流体力学中有广泛应用。场景三算子学习与函数映射当你需要学习从源项到解的映射时DeepONet提供了强大的解决方案# 创建DeepONet学习算子 branch_net dde.nn.FNN([100, 50, 50], relu, Glorot normal) trunk_net dde.nn.FNN([1, 50, 50], relu, Glorot normal) deeponet dde.nn.DeepONet(branch_net, trunk_net, Glorot normal, [50])场景四参数反演问题在工程实践中经常需要根据观测数据反推物理参数。DeepXDE让这类逆问题变得简单# 定义未知参数 C dde.Variable(1.0) # 待求解的参数 def pde(x, y): dy_xx dde.grad.hessian(y, x) return -dy_xx - C * dde.backend.sin(np.pi * x) # 训练时会同时优化神经网络参数和物理参数C场景五多物理场耦合问题对于涉及多个物理场的复杂问题DeepXDE提供了灵活的建模能力def coupled_pdes(x, y): # y包含温度场和浓度场 T, C y[:, 0:1], y[:, 1:2] # 热传导方程 heat_eq dde.grad.jacobian(T, x, j0) - alpha * dde.grad.hessian(T, x) # 扩散方程 diffusion_eq dde.grad.jacobian(C, x, j0) - D * dde.grad.hessian(C, x) return [heat_eq, diffusion_eq]避开常见陷阱DeepXDE使用中的最佳实践陷阱一训练不收敛怎么办症状损失函数震荡或下降缓慢预测结果不准确。解决方案调整学习率策略使用学习率衰减增加训练点密度在关键区域增加采样点尝试不同的网络架构残差网络可能效果更好使用自适应采样让模型告诉你哪里需要更多训练点陷阱二边界条件难以满足症状边界处的误差明显大于内部区域。解决方案使用硬约束将边界条件直接编码到网络架构中增加边界权重给边界损失更高的权重调整采样策略在边界附近增加采样点密度陷阱三内存不足或训练太慢症状GPU内存溢出训练时间过长。解决方案减小批量大小使用混合精度训练启用多GPU并行训练使用梯度检查点技术从零到一的快速上手指南第一步环境准备5分钟# 创建虚拟环境 python -m venv deepxde-env source deepxde-env/bin/activate # 安装DeepXDE选择你喜欢的后端 pip install deepxde[tensorflow] # 或 deepxde[pytorch], deepxde[jax], deepxde[paddle]第二步运行第一个示例10分钟# 克隆项目 git clone https://gitcode.com/gh_mirrors/de/deepxde cd deepxde/examples/pinn_forward # 运行一维扩散方程示例 python diffusion_1d.py第三步修改示例解决你的问题30分钟复制一个最接近你问题的示例修改几何定义调整物理方程更新边界条件运行并观察结果第四步性能调优根据需要调整网络深度和宽度尝试不同的激活函数优化训练参数添加正则化项深度探索DeepXDE的高级功能DeepXDE的物理信息神经网络架构从问题定义到网络选择再到求解流程的完整工作流功能一物理信息神经网络PINNPINN是DeepXDE的核心它将物理定律直接编码到神经网络中# PINN的完整工作流程 geom dde.geometry.Interval(0, 1) # 1. 定义几何 pde lambda x, y: dde.grad.hessian(y, x) f(x) # 2. 定义方程 bc dde.icbc.DirichletBC(geom, g, boundary) # 3. 定义边界条件 data dde.data.PDE(geom, pde, bc) # 4. 创建数据对象 net dde.nn.FNN([1, 50, 50, 1], tanh) # 5. 构建神经网络 model dde.Model(data, net) # 6. 创建模型 model.compile(adam, lr0.001) # 7. 编译模型 model.train(iterations10000) # 8. 训练模型功能二深度算子网络DeepONetDeepONet物理信息深度算子网络架构用于解决更复杂的科学计算问题DeepONet专门用于学习函数到函数的映射在算子学习和复杂系统建模中表现出色# DeepONet学习积分算子 def generate_integral_data(): # 生成训练数据学习sin(kx)到其积分的映射 pass # 创建DeepONet模型 deeponet dde.nn.DeepONet(branch_net, trunk_net)功能三多保真度学习当你同时拥有高精度和低精度数据时MFNN能够智能地融合这些信息# 多保真度神经网络 mfnn dde.nn.MfNN( [2, 50, 50, 1], # 低保真网络 [2, 50, 50, 1], # 高保真网络 correlationlinear )功能四自动微分与高阶导数DeepXDE支持多种自动微分方法可以高效计算任意阶导数# 计算一阶导数 dy_dx dde.grad.jacobian(y, x, i0, j0) # 计算二阶导数Hessian矩阵 d2y_dx2 dde.grad.hessian(y, x, i0, j0) # 计算混合偏导数 d2y_dxdy dde.grad.jacobian(dy_dx, x, i0, j1)真实用户故事他们如何用DeepXDE改变工作方式故事一航空航天工程师的突破我们正在设计新一代飞机翼型传统CFD模拟需要几周时间。使用DeepXDE后我们能够在几小时内获得初步结果并且可以快速探索不同的设计参数。故事二生物医学研究者的发现在研究药物扩散时我们需要求解复杂的扩散-反应方程。DeepXDE不仅加速了求解过程还让我们发现了传统方法忽略的边界效应。故事三材料科学家的效率提升材料相变模拟通常需要复杂的相场模型。DeepXDE让我们能够快速测试不同的理论模型大大加速了新材料的设计过程。开始你的DeepXDE之旅下一步行动指南第一步学习资源官方文档深入阅读DeepXDE的完整文档示例代码研究examples/目录下的70多个示例社区讨论参与GitHub上的技术讨论第二步实践项目从简单开始先运行一维问题示例修改参数尝试改变方程系数或边界条件解决实际问题将DeepXDE应用到你的研究课题中第三步深入探索阅读论文了解PINN和DeepONet的理论基础贡献代码如果你有改进想法可以向项目提交PR分享经验在社区中分享你的使用经验常见问题解答Q: 我需要多少数学知识才能使用DeepXDEA: 基础的微积分和偏微分方程知识就足够了。DeepXDE会处理大部分复杂的数值计算细节。Q: DeepXDE能替代传统数值方法吗A: 不是替代而是补充。DeepXDE特别适合那些传统方法难以处理的问题或者需要快速原型设计的情况。Q: 训练神经网络需要大量数据吗A: 对于PINN你甚至不需要任何训练数据——物理方程本身就是数据。对于DeepONet需要一些函数对作为训练数据。Q: 计算资源要求高吗A: 基础问题可以在普通笔记本电脑上运行。对于大规模问题DeepXDE支持GPU加速和多GPU并行。结语让物理建模变得简单而强大DeepXDE正在改变科学计算的面貌。它将深度学习的强大能力与物理定律的严谨性相结合为研究人员和工程师提供了一个前所未有的工具。无论你是想快速验证一个物理假设还是需要解决复杂的多物理场问题DeepXDE都能提供高效的解决方案。它降低了科学机器学习的门槛让更多人能够探索物理世界的奥秘。现在就开始你的DeepXDE之旅吧从运行第一个示例开始逐步探索这个强大工具的无限可能。记住最好的学习方式就是动手实践——打开你的代码编辑器开始编写第一个物理信息神经网络。科学计算从未如此简单深度学习从未如此强大。这就是DeepXDE带给你的承诺和可能性。【免费下载链接】deepxdeA library for scientific machine learning and physics-informed learning项目地址: https://gitcode.com/gh_mirrors/de/deepxde创作声明：本文部分内容由AI辅助生成（AIGC），仅供参考