第四章“骰子不骗人”游乐园西侧靠近摩天轮的地方有一个掷骰子的摊位。它在两个游戏摊位的夹缝里红布桌面被太阳晒得发白三颗骰子装在塑料杯里旁边立着一块手写的木牌掷两颗骰子点数之和≥10奖励小玩偶一只。摊主是个扎马尾的年轻姑娘正在给一个小男孩兑奖——一只巴掌大的黄色鸭子。小男孩攥着鸭子跑了。林默站在木牌前面。“两颗骰子和大于等于十——”概率是多少苏晚蹲下来问。她蹲下比林默快——膝盖一弯就下去了从包里掏出一张白纸摊在台阶上铅笔搁在耳后。林默看着她那一串动作——掏纸、摊平、取笔——几乎同时完成的。我在想。他说。“想什么”“两颗骰子一共有多少种情况。”苏晚的笔在纸面上点了一下。“六六三十六。”“你怎么知道的”“每颗骰子六个面两颗就有六乘六种。这叫——“她想了一下”——乘法原理。如果一件事有m种做法另一件事有n种做法两件事合起来就有m×n种。”林默站着看着她画了一个表格。横着写1到6竖着写1到6。格子被画出来了一个六乘六的方形。“这三十六种就是所有的情况”所有。苏晚说“骰子不骗人。没有第三种情况。也不多一种。就是这三十六个格子。”林默蹲下来。台阶的水泥面被太阳晒得有点温他蹲下来的时候膝盖碰了一下地面。他看着那张表——6行6列36个空格。所有可能在扔出去之前都已经在这张纸上躺好了。这叫所有可能发生的情况。程远的声音从后面传来。林默转头。程远站在摊位左侧两步远的地方不知道什么时候来的。他今天穿着一件深灰色T恤手里什么都没拿。所有可能发生的情况。林默重复了一遍。对。程远说“你要是漏了一格算出来的概率就是错的。”林默又低头看了一眼那张表格。三十六格整整齐齐。一个不多一个不少。他以前从来没想过算概率之前还有一件事要做——把所有可能发生的情况全部列出来。苏晚开始填表。她的笔尖从左上角开始——横1竖1和是2横1竖2和是3横1竖3和是4。她一路填到横1竖6和是7。然后第二行横2竖1和是3横2竖2和是4……她的铅笔走得稳每写一个数笔尖在空格里顿一下再提起来。林默看着她的笔尖沿着格子移动。每一个格子都被填了一个数字——从2到12。他发现一个事情有些数字只出现一次比如2和12有些数字出现好几次比如7。苏晚填完了。她把笔放下转了转手腕。现在怎么算大于等于十的概率林默问。“数。”苏晚开始数。她的食指在表格上移动——4610一格、5510一格、5611一格、6410一格、6511一格、6612一格。她在每个符合条件的格子里画了一个小圆圈。六个。她说。“三十六里面六个——”“六分之一。”林默看着那六个被画了圈的小格子。它们集中在右下角。三行、但每行位置不一样——有的在中间有的在边角。他想如果只讲概率六分之一就够了。但他在那个表格上看到的远不止六分之一——他看到这些格子不是均匀分布的有些区域密有些区域疏。你再数一下每行的和。程远说。苏晚从第一行开始数2、3、4、5、6、7。她默数了一遍抬头“第一行最小是2最大是7。”“第二行”她从第二行扫过去3、4、5、6、7、8。“最小3最大8。”“每一行的最大值都比上一行多一。”“……对。”程远没有再问。他在台阶上蹲下来用食指在表格的每一行底部划了一下。“第一行六个格子最小的数是2最大的数是7。第二行最小的数是3最大的数是8。每一行都在往右平移一格。”苏晚低下头自己看了一遍。“所以——每一行的和越来越大”从左往右和越来越大。从下往上和也越来越大。程远说“右下角的数最大左上角的数最小。”林默蹲在旁边看着。他慢慢明白程远在说的是什么——不是那个具体的六分之一是这张表本身长什么样子。右上角到左下角大数和小数挤在不同的位置。整张表不是平的有一块地方是最高点有一块地方是最低点。苏晚。他说“你能不能把每个数字出现几次数出来”苏晚愣了一下。她刚才数了大于等于十的有六个。但林默说的是每个数字——从2到12每一个。她又拿起了笔。从2开始数——她用手指在表格上找了一圈在左上角的格子里找到了一个2画了一个小勾。2出现一次。3——她找了一圈两个格子画了两个勾。4——三个。5——四个。6——五个。7——六个。她数到7的时候笔尖停在那个出现次数最多的数字上没有继续。7出现六次。她说。继续。程远说。8——五个。9——四个。10——三个。11——两个。12——一个。她写完的时候表格旁边多了一列小数字2→13→24→35→46→57→68→59→410→311→212→1林默看着那串数字。它们从1开始一路升到6然后从6降回1。“像一座山。”像一座山。程远重复了一遍语气没有变化但他确实重复了像是在确认这个词可以用。7在最上面出现六次。2和12在最下面各出现一次。林默说“所以——两颗骰子最有可能掷出7最不可能掷出2和12。”“对。”不是所有的’和’都一样可能。苏晚说“以前我以为——只要把36种情况列出来每种情况出现的概率都一样。但’点数之和’不是每种情况——它是一个事件。同一个事件可能有多种情况。”事件林默问。“就是’你想要的那个结果’。比如’点数之和等于7’是一个事件它有六种情况。点数之和等于2’也是一个事件它只有一种情况。”“所以不同的’事件’——”“可能性不一样。”林默看着那张表格。他忽然理解了事件和情况的区别。一颗骰子出6——一种情况对应一个事件。两颗骰子出7——六种情况对应一个事件。情况是最小的单位事件是你关心的那些情况的集合。“所以算概率的时候——”先数清楚所有情况再找出你关心的那些。苏晚说。情况是基础事件是目标。林默说。“对。”林默把这句话在脑子里过了一遍。以前他算概率直接想七分之一、“六分之一”从来不问这个分数是怎么来的。现在他知道——分数下面那个数是所有可能的情况的总数分数上面那个数是你关心的那些情况的数量。如果我想把所有可能出现的情况找全——苏晚说。找全比算对重要。程远说。“找全了才能算对。”对。程远说“很多人算错概率不是不会除是少算了几种。少算一种答案就是错的。”苏晚沉默了一会儿然后说“我每次做题都很着急。想赶快算出来。”“着急的时候——”“着急的时候就会漏。”“下次不着急。”下次不着急。苏晚把这四个字说了一遍像是记给自己听的。林默把那张表格拿起来正对着阳光看。纸有些透铅笔写的数字从背面也能看出来像X光片。“所以算概率的步骤是不是这样——”他顿了顿自己整理了一下。“第一步把所有可能发生的情况找全。一个都不能漏。”“第二步看你关心的事件包含了哪些情况。”“第三步数清楚。然后除。”对。程远说。我以前只做第三步。林默说。“以前很多人只做第三步。”林默把表格放下了。他蹲在台阶上膝盖有些发麻但他没站起来。他看着苏晚画的那个六乘六的方阵——所有可能在落地之前就已经被网格抓住了。骰子还没有掷纸上的答案已经有了。你刚才画的那种把所有可能性都写出来的方法——他转向苏晚。叫列表法。苏晚说“把所有可能列成一张表。还有一种叫树状图——把每一种可能画成一条树枝。”“哪个更好”看情况。苏晚说“树状图能看清顺序——第一颗骰子先出什么第二颗再出什么。列表法能看清整体——所有情况一次都放在眼前。”“我想看整体。”“列表法更适合你。”程远站在旁边一直没有插话。他侧身靠在摊位边沿上看了一眼苏晚那张表格又看了一眼林默的脸然后说“那你说说列表法和树状图有没有共同的地方”林默想了想。“它们都在做同一件事。”“什么事”“把所有的可能性都找出来。”“但方式不同。”“方式不同目标相同。”程远没有再追问。他从摊位前面的塑料杯里拿起那两颗骰子——他是从侧面拿的没有挡住摊主的视线——放在手心里让林默看了一眼。“这两颗骰子白点红点六个面每一面都一样重。数学上它们是完全对称的。但在你掷出去的那一秒落地的那一面就已经定了。你说它是不确定的还是确定的”林默张了张嘴没出声。程远把骰子放回了杯子里。“走吧。”他说完就转身走了。苏晚把那张纸小心地对折对折再对折塞进了书包最外面的夹层里。她站起来的时候膝盖响了一下。“他问你的那个问题——”知道。林默说“不确定还是确定。”“你想出答案了”“没有。但我觉得答案不是是或不是”——“是什么”“是’中间’。它在被掷出来之前是不确定的在落地的那一瞬间变成了确定的。数学管不到那一瞬间但它管到了所有瞬间加起来的样子。”苏晚沉默了。她站在台阶上书包带子搭在一侧肩膀上压出一个深深的印痕。“这个答案——”“嗯”“比’六分之一’更难。”林默没有反驳。他们走出游乐园的时候太阳已经偏西了。红布桌面上那两颗骰子还在塑料杯里白色底面被夕光照得有些发黄。晚上回到家林默把苏晚画的那张表格重新在脑子里走了一遍——不是具体数字是形状。他想如果概率是一张地图那么确定就是地图上的一个点不确定就是整张地图本身。掷一颗骰子你在地图上有六个点可以站。掷两颗你有三十六个点。每一次掷出去都是在选择其中一个点站上去。你不会提前知道你会站到哪里。但你知道整张地图长什么样。他没有合上书。他往前翻了一页。第三章。他第一次觉得第三章不是很多页纸是一个他可能会到的地方。