四面体示意图一、基础定义与前置公理1. 四面体顶点定义设三维欧氏空间中任意四面体 4 个顶点V0​(X0​,Y0​,Z0​),V1​(X1​,Y1​,Z1​),V2​(X2​,Y2​,Z2​),V3​(X3​,Y3​,Z3​)空间内任意一点 Q(x,y,z)若 Q 在四面体内部 / 面上则存在唯一一组实数 λ0​,λ1​,λ2​,λ3​称为重心坐标。2. 重心坐标两条核心公理公理 1线性矢量分解点 Q 可表示为 4 顶点的线性加权和Qλ0​V0​λ1​V1​λ2​V2​λ3​V3​公理 2归一约束权重之和恒为 1λ0​λ1​λ2​λ3​13. 分量拆分规则三维矢量相等等价于三个坐标轴分量分别相等将矢量方程拆分为标量方程。二、构建通用线性方程组把矢量方程按X 、Y、Z 三轴展开结合归一约束得到四元一次线性方程组未知数为 λ0​,λ1​,λ2​,λ3​轴分量方程轴分量方程轴分量方程归一约束方程写成标准矩阵形式 Aλb系数矩阵方程组唯一解的充要条件矩阵 A 的行列式 det(A)!0几何等价条件V0​,V1​,V2​,V3​ 四点不共面恰好构成有效四面体。 只要四点不共面矩阵 A 可逆方程组存在唯一一组解 (λ0​,λ1​,λ2​,λ3​)即该点唯一的重心坐标。三、克莱姆法则抽象闭式解通用重心坐标公式对于四元线性方程组 Aλb使用克莱姆法则直接写出每个重心权重的解析解其中A原始 4×4 系数矩阵Ai​将矩阵 A 的第 i 列替换为右侧常数向量 b[x, y, z, 1]T 得到的新矩阵。4 插值通用公式设四面体四个顶点携带标量属性 F0​,F1​,F2​,F3​如 RGB 色彩、灰度、深度则点 Q 处插值结果F(Q)λ0​F0​λ1​F1​λ2​F2​λ3​F3​有效约束仅当 λ0​≥0,λ1​≥0,λ2​≥0,λ3​≥0 时Q 在四面体内部 / 表面插值具备几何连续性若存在任意 λi​0点落在四面体外部该插值无物理意义。5 代入 标准四面体完整核验假设标准顶点V0​(0,0,0),V1​(1,0,0),V2​(1,1,0),V3​(1,1,1)权重表达式 a1−x, bx−y, cy−z, dz 仅对当前这一组四面体顶点 P0​(0,0,0),P1​(1,0,0),P2​(1,1,0),P3​(1,1,1) 唯一成立若更换四面体 4 个顶点的空间坐标矢量方程组会改变解出来的重心坐标表达式完全不同