这是一个非常深刻的问题。您开始探究数学公式背后的“通用性”和“选择的必然性”了。直接回答您的问题不是因为xαx^\alphaxα能代表“任何”表达式而是因为它是最适合处理“多项式类型”问题的基本工具。事实上夹逼定理的适用范围极广我们之所以在书里选择xαx^\alphaxα有以下三个非常实际的原因—### 原因一这是本题因式分解的“自然产物”在这道具体的题目中我们并不是凭空决定去除以xαx^\alphaxα的而是被题目本身的结构“逼”出来的。回顾一下分子的化简过程分子是3x22x5sin⁡(3000x9)3x^2 2x 5 \sin(3000x^9)3x22x5sin(3000x9)其中主导项是3x23x^23x2。为了把主导项提出来我们强行提取了3x23x^23x23x2×(123x53x2sin⁡(3000x9)3x2)3x^2 \times \left( 1 \frac{2}{3x} \frac{5}{3x^2} \frac{\sin(3000x^9)}{3x^2} \right)3x2×(13x2​3x25​3x2sin(3000x9)​)注意看最后这一项sin⁡(3000x9)3x2\frac{\sin(3000x^9)}{3x^2}3x2sin(3000x9)​。* 这里的常数333并不影响大局关键的部分是分母上的x2x^2x2。* 这个x2x^2x2正好就是xαx^\alphaxα当α2\alpha 2α2时的具体形式。所以选择除以xxx的幂次是因为这道题原本就是由多项式组成的。当我们提取多项式的最高次项时自然而然就会在分母上留下xxx的幂次即xαx^\alphaxα。—### 原因二夹逼定理其实支持“其他任何趋于无穷大”的形式并不局限于xαx^\alphaxα其实夹逼定理的底线非常低只要分母在x→∞x \to \inftyx→∞时能变成无穷大什么形式都可以。xαx^\alphaxα无法代表所有的数学形式比如它代表不了指数函数exe^xex、对数函数ln⁡(x)\ln(x)ln(x)但如果分母换成这些形式夹逼定理依然完美成立*如果分母是指数函数exe^xex当x→∞x \to \inftyx→∞时ex→∞e^x \to \inftyex→∞。 由于−1≤sin⁡(x)≤1-1 \le \sin(x) \le 1−1≤sin(x)≤1我们同时除以exe^xex−1ex≤sin⁡(x)ex≤1ex-\frac{1}{e^x} \le \frac{\sin(x)}{e^x} \le \frac{1}{e^x}−ex1​≤exsin(x)​≤ex1​因为lim⁡x→∞1ex0\lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{e^x} 0x→∞lim​ex1​0所以中间的极限也是000。*如果分母是对数函数ln⁡(x)\ln(x)ln(x)当x→∞x \to \inftyx→∞时ln⁡(x)→∞\ln(x) \to \inftyln(x)→∞。 同样有−1ln⁡(x)≤sin⁡(x)ln⁡(x)≤1ln⁡(x)-\frac{1}{\ln(x)} \le \frac{\sin(x)}{\ln(x)} \le \frac{1}{\ln(x)}−ln(x)1​≤ln(x)sin(x)​≤ln(x)1​因为分母趋于无穷大两端趋于000所以中间的极限也是000。也就是说夹逼定理的本质是有界在 [-1,1] 之间波动无穷大0\frac{\text{有界在 [-1,1] 之间波动}}{\text{无穷大}} 0无穷大有界在[-1,1]之间波动​0。只要分母能提供“无穷大”哪怕分母是一个极其复杂的函数g(x)g(x)g(x)极限都是000。—### 原因三为什么书上要特意总结lim⁡x→∞sin⁡(… )xα0\lim\limits_{x \to \infty} \frac{\sin(\dots)}{x^\alpha} 0x→∞lim​xαsin(…)​0这个公式既然分母用什么都可以为什么教科书非要单列出xαx^\alphaxα呢因为在微积分的极限题目中多项式和幂函数xαx^\alphaxα是最常见、最基础的“常客”。* 就像我们在生活中会准备各种尺寸的十字螺丝刀因为十字螺丝最常见。*xαx^\alphaxα就是数学家为了应对高频出现的“多项式比值极限”而专门打造的一把标准螺丝刀。* 将其写成xαx^\alphaxαα0\alpha 0α0是为了建立一个标准模板。当你在其他题目中遇到sin⁡(x)x3\frac{\sin(x)}{x^3}x3sin(x)​、cos⁡(x)x\frac{\cos(x)}{\sqrt{x}}x​cos(x)​时不用每次都用夹逼定理重新写一遍证明而是可以像套公式一样直接指出“因为分母是xxx的正幂次所以极限为000”。### 总结数学上并没有规定“只能除以xαx^\alphaxα”。1.除以xxx的幂次是因为本题是一道多项式极限题提取公因式后自然产生了x2x^2x2。2.写成xαx^\alphaxα是教科书为了帮我们总结出一个适用于所有多项式/根式背景的标准公式模板。3. 夹逼定理本身的包容性极大只要分母能趋于无穷大不论是xαx^\alphaxα、exe^xex还是ln⁡(x)\ln(x)ln(x)这个消灭波动项的原理就永远成立。