指数魔法学院——认识 exp(x) 指数函数1、同学们今天我们要认识数学王国里一位超级厉害的魔法师‍♂️ 指数魔法师 exp(x)2、在 C 中它长这样exp(x)作用是计算 e 的 x 次方3、也就是exp(x) e^x这里的 e 是一个神奇数字e ≈ 2.718281828它和 π 一样有名是数学世界里的超级明星4、e 是什么e ≈ 2.718281828...是自然对数的底也是数学中最重要的常数之一与 π、i、0、1 并列为五大基本常数。核心特征以 e 为底的指数函数 eˣ其导数等于它自身。这让它在微积分中拥有天然特权。5、e是怎么定义出来的有几条等价的路径最直观的是从复利问题自然长出来的极限定义最经典假设你存 1 元年利率 100%。e 不是谁规定出来的而是在研究增长、复利、变化率时自然浮现的一个常数——它是连续增长的自然单位。 第一幕神奇的生命树1、在指数魔法学院里有一棵生命树。这棵树有个神奇能力 每过一个时间单位它都会按照固定比例增长。2、学院里的魔法师发现如果按照最自然、最快速的增长方式生长3、树高会遵循高度 e ^ t其中t 表示时间e≈2.718284、于是魔法师发明了exp(t)专门计算这棵树的高度。1 exp(0) 等于多少先看看最简单的情况cout exp(0);数学上[ e^01 ]输出12 exp(1) 等于多少cout exp(1);表示[ e^1e ]结果2.71828左右。3 exp(2) 呢cout exp(2);表示[ e^2 ]结果7.389064我们整理一下表格xexp(x)0112.71827.389320.085454.5985可以发现 长得越来越快这就是指数增长5、 指数增长长什么样6、观察后会发现左边增长很慢经过 (0,1)往右越来越陡增长速度越来越快这就是指数函数最大的特点。⚔️ 第二幕C中的 exp()1、要使用 exp需要头文件#include cmath1例如#include iostream #include cmath using namespace std; int main() { cout exp(1) endl; cout exp(2) endl; cout exp(3) endl; return 0; }2输出2.71828 7.38906 20.08552、 exp(x) 返回什么类型1返回double因为结果可能带小数。2例如double x exp(2); cout x;输出7.38906 第三幕细菌王国1、有一天小明来到细菌王国。科学家发现细菌数量遵循[ Ne ^ t ]t 表示小时数。1第1小时exp(1)≈2.7182第2小时exp(2)≈7.3893第3小时exp(3)≈20.0854第4小时exp(4)≈54.598是不是增长得特别快这就是指数增长2、 实例1计算 e³#include iostream #include cmath using namespace std; int main() { cout exp(3); return 0; }输出20.08553、 实例2计算 e⁵cout exp(5);结果148.413已经变得非常大了。4、 实例3用户输入指数#include iostream #include cmath using namespace std; int main() { double x; cin x; cout exp(x); return 0; }输入2输出7.38906 第四幕 exp(x) 和 pow() 的关系1、前面同学们已经学过pow(a,b)2、表示[ a^b ]例如pow(2,3)得到83、那么[ e^x ]其实也可以写成pow(e,x)例如pow(2.718281828,2)结果也是7.3894、但是exp(x)更快、更准确。所以计算[ e ^ x ]推荐使用exp(x) 实战挑战1计算[ e^0,e^1,e^2,e^3,e^4 ]#include iostream #include cmath using namespace std; int main() { for(int i0;i4;i) { cout exp(i) endl; } return 0; }输出1 2.71828 7.38906 20.0855 54.5982 实战挑战2生命树高度生命树高度公式[ heighte^t ]输入时间 t。输出生命树高度。#include iostream #include cmath using namespace std; int main() { double t; cin t; cout exp(t); return 0; }输入3输出20.0855 编程中的常见用途概率数据分析人工智能机器学习物理模拟指数增长模型都会看到exp(x)例如double y exp(-x);double p 1.0 / (1 exp(-x));这些都是人工智能中经常出现的公式。 本课总结1、exp(x) 是什么exp(x)表示[e^x]2、需要哪个头文件#include cmath3、常见结果exp(0)1exp(1)2.71828exp(2)7.38906exp(3)20.08554、返回类型double5、与 pow 的关系pow(e,x)≈exp(x)但exp(x)更专业、更快、更准确。6、 记忆口诀e是自然小精灵exp负责把它升x次方来帮你算增长速度快如风包含cmath别忘记返回double要记清