目录一、基本公式推导1单位阶跃函数2单位冲激函数3指数函数4单位斜坡函数5加速度函数6正弦函数7余弦函数二、从微分、积分的角度探索规律1幂函数的规律2指数函数与三角函数的规律三、利用拉普拉斯的性质推导常见公式表---全局范围的函数1t^n型时域微分性质2e^at * ft型频移性质3f(t-t0)*ε(t-t0)型时移性质四、构造非全局性函数1为什么常见性质无法满足全部情况还需要构造2图一的构造3图二的构造五、用拉普拉斯变换解微分方程在上篇文章我们简单引入了拉普拉斯逆变换和利用拉普拉斯变换解微分方程的一般思路我们说最常用的是拉普拉斯的时域微分性质以及等式右边的查表公式法。但这个公式具体是怎么求解的呢其实就是利用套入拉普拉斯逆变换式子进行曲线积分不过这个曲线积分是一条竖直线所以我们会采用留数定理转换成闭合曲线积分进行求解。本篇文章会介绍几种常见的表项以及如何用这几个基础表项去临时推导更加复杂的式子。由于逆变换需要的数据功底很强所以本文我们将用正变换去推导不过不用担心的是推导出的正变换结果可以正常带回微分方程中所以不再依赖逆变换也可以。在自控中通常都是用拆解法查表法做的通常不会涉及让我们直接用留数定理求解围道积分的过程毕竟这些数学家早已证明完毕更何况我们还可以直接从渐变的正变换看出结果何必去追寻复杂的围道积分呢一、基本公式推导1单位阶跃函数虽然这个是拉普拉斯正变换的推导但我们可以把它反过来看如果遇到频域为1/S的函数则可以转化为单位阶跃信号。这也是正变换简化逆变换围道积分的方式。2单位冲激函数我们还可以回归单位冲激的定义来看看可以帮助我们后续理解记忆他们的导数特性。3指数函数4单位斜坡函数5加速度函数可以看到这个过程还是太复杂了于是我们通常会用时域微分、时域积分性质简化记忆、加深理解。而下述标准求法则被舍弃了。6正弦函数7余弦函数二、从微分、积分的角度探索规律1幂函数的规律我们把单位阶跃、单位冲激、单位斜坡、加速度函数这四个单独拿出来看。可以发现他们有如下的求导链条。2指数函数与三角函数的规律除此之外正余弦函数之间还有一次求导的关系存在于是也可以用时域微分、时域积分性质去求解答案也是相同的。三、利用拉普拉斯的性质推导常见公式表---全局范围的函数在这里主要用到三种性质时域积分、频域微分、频域积分。详细的过程可以看我之前的文章复变函数拉普拉斯逆变换、常见性质、解微分方程的一般通法-CSDN博客。这里我仅仅列出了几个常见的变换性质以后当然可能遇到更多的则需要大家自己根据拉普拉斯变换的性质进行推导了。1t^n型时域微分性质2e^at * ft型频移性质3f(t-t0)*ε(t-t0)型时移性质四、构造非全局性函数1为什么常见性质无法满足全部情况还需要构造在上面我们推导的是全局作用域内的的函数即函数取值范围是(0-,∞)所以可以用常见的拉普拉斯性质得到结果。但有时候题目中的函数可能并不是全局性质的而是局部的。比如下图关于更多类型的构造需要大家自己面对题目的时候进行分析但无论什么构造最终的结果无非就是几个时移特性的运用而已。这些拉普拉斯变换的性质一定要牢记于心。2图一的构造3图二的构造五、用拉普拉斯变换解微分方程在上一篇文章中我们已经用时域微分性质查表法解决了一个微分方程但如果考试没有给我们这个表或者我们没有背下来该如何呢我们可以用今天学到的常见函数的像函数一些拉普拉斯变换性质间接得到表项这也是我推荐大家的做法而不是死记硬背。依旧以下面这个式子为例整个过程中没有用到任何复杂查表法全部都由基本像函数频移性质、线性性质推导得到对于记忆能力弱的同学非常好用。