本人是一名大一新生25高考的目前在桂电就读密码专业自己大一入学到现在一直对数学很感兴趣在课外学习数学相关知识自己有了一些感悟想要分享出来一方面想与其他人交流交流另一方面通过分享的方式辅助自己总结深化自己对相关知识的理解以下是正文部分首先你是不是会好奇我是怎么学到线性泛函这种本科数学专业大一都不一定会学的内容事情是这样的我在大一上了解到密码学专业的相关前沿方向的基础是线性代数于是大一上先是课内学了线代课程课外自己在大一中期时候专门去系统性学了线代因为校内课程比较偏应试课内难以理解线代内核与原理有对此部分感兴趣的详见我的上篇文章然后自己在深究过程中免不了的接触了线性泛函当时线代第一次接触这种抽象概念加上我平时钻研数学也比较执着当时对这一块内容很感兴趣于是就顺着这条线代——线性泛函的逻辑链一步步深究下去于是就接触到了这个大学数专高年级本科生才会接触的内容——泛函分析然后知道了泛函分析的核心是研究无限维空间上的线性算子核心是Lp空间以及勒贝格积分其实我觉得抛开泛函分析不谈光是线性泛函这个概念和内积矩阵这叁之间的联系就很微妙也很有意思后面有时间会考虑专门写一篇文章详细讲讲。其次关于实变函数其实这个概念刚开始我是不知道的毕竟在大一上期我是以线性代数为支点展开数学的拓展学习的而线代往下是抽象代数往上则是泛函分析这条逻辑链跟实变函数有关但是不大那我是咋了解到这个的呢起因是在某个QQ数学竞赛群和网友交流数学时候偶然谈到了迪利克雷函数可积性当时在我看来这个函数是不可积的但是别人说这个函数在传统黎曼积分视角下确实不可积但是在实变函数的范畴里面可积的时候自己就被狠狠震惊到了事实上关于可积性我也觉得很有意思可以和可测性可微性啥的进行对比联系于是就去网上查了查资料了解到了实变函数的核心思想是换自变量人话说就是换一个积分视角把从X积分换成从Y积分这样的话原函数在Y为自变量的前提下就变的可测了这块内容我自己觉得很精彩。看到这里可能会有不懂的人会问啊那你这个实变函数和泛函分析看起来也没啥关系啊是的没错当初我学完实变函数也是这么认为的没看不出来这两有啥关系其实也只是了解了一下实变核心思想而已啦我不是数专的不可能花时间去系统性学然后这样的状态也是持续了蛮长的一段时间。事情转机大概是上周周末晚上在QQ和群内的网友交流泛函分析的时候对方问我实变学的咋样我说自己是先学的泛函实变没咋学事实上也确实没有系统学习对方此时说不应该是先学实变在学泛函吗此时我就很疑惑了因为我确实是先接触的泛函分析后面学的实变函数。于是此时我又开始在网上搜索两者相关知识并尽量在自己能力范围之内梳理这两者关系自己当时为了解决这个问题顶着早八的压力还浅熬了一下hhh于是也就有了这篇文章的诞生现在才写则是因为平时要上课运动学数学没啥时间以下则是本人自己总结的相关知识和整体逻辑链若是有细节出错欢迎各位指正首先在我看来实变函数作为分析学的一个分支拓展一下在我看来分析学以实分析为基础主要分为调和分析复分析和泛函分析三大板块并最终可以统一成微分方程实变函数的核心是原函数不变换了一个方向测量函数整体的可积性以此达到可积的效果而泛函分析的核心则是在高维空间下将原空间里面的元素映射到另外一个空间此处相当于就是泛函分析用了实变函数中的勒贝格积分在Lp空间已经有的内积基础上使得将自己原来的函数空间里面的元素进行积分过程完美地映射到了实数域中这个过程也就是泛函具体来说勒贝格积分让我们能构造出Lp这样的函数空间而泛函分析就在这些空间上研究线性算子和对偶性有意思的是加上完备性之后整个空间就变成了著名的Hilbert空间所以实变函数和泛函分析的关系用一句话概括是实变函数为泛函分析提供了函数空间与积分工具泛函分析把这些东西抽象成为抽象的空间理论。总之以上只是一部分个人数学学习过程中的思考最近也在努力试着找到代数几何分析三大板块之间的关系加速自己数学这一块知识体系的构建后续深度学习大物计算机甚至电信后会考虑出一些学科交叉类的文章欢迎各位大佬给出相关指导也欢迎各位大佬对本文中的不足之处进行指正