KP​sKI​​(1-5)SVPWM调制模块的近似传递函数这是零阶保持器ZOH的一阶惯性近似对应 PWM 更新带来的半拍延迟0.51(1-6)0.5Ts​s1Kpwm​​(1-6)以及离散系统带来的一拍延迟这是数字控制中采样 / 计算延迟的一阶惯性近似11(1-7)Ts​s11​(1-7)其中Kpwm不考虑非线性情况下理想化等于1。这里呢再做一步简化如图2所示将调制模块和一拍延迟也近似整合。这里解释下为什么正常来讲式1-6和1-7两个串联应该是串(0.51)(1)0.5221.51(1-8)G串​(0.5Ts​s1)(Ts​s1)Kpwm​​0.5Ts​2s21.5Ts​s1Kpwm​​(1-8)近似的核心依据数字控制中电流环采样周期 Ts 通常远小于电机的电气时间常数τe​RL​且系统闭环带宽 ωc​ 远低于 1/Ts。此时在系统工作频率 ω≪1/Ts 范围内Ts​ω ≪1因此 0.5220.5Ts​2s2二次项的模值远小于1.51.5Ts​s一次项所以可以忽略二次项。也就是近似1.51(1-9)G近似​1.5Ts​s1Kpwm​​(1-9)到这一步呢我们食材准备妥当了接下来梳理下如何去实现PI参数自整定的目标。首先依据陈伯时老师的《电力拖动自动控制系统--运动控制系统第5版》中p64-67章节4.3.2阐述的理论--工程整定法针对典型I型系统其开环传递函数如1-10书中p67表4-1中一般取用ζ0.707即KT0.5的参数作为最佳整定。这就是我们进行参数自整定的核心依据也是我们推导的目标文章第二部分另行补充证明为什么这样最佳整定。()(1)(1-10)W(s)s(Ts1)K​(1-10)回顾前面图2系统开环传递函数不含PID控制器部分由电机1-4和近似部分1-9组成如下开环1.51×1(1.51)(1)(1-11)G开环​1.5Ts​s1Kpwm​​×RLs1​R(1.5Ts​s1)(RL​s1)Kpwm​​(1-11)将1-11对比式1-10发现要想实现典型I型环节就得想办法去掉一个分母项As1这时PID控制部分作用就来了引入式1-5到1-11中得电流环(1.51)(1)() (1.51)(1)×(1)​G电流环​R(1.5Ts​s1)(RL​s1)Kpwm​​(KP​sKI​​) R(1.5Ts​s1)(RL​s1)Kpwm​​×sKI​(KI​KP​​s1)​​(1-12)​对照1-10仅需要1-12中(1)(1)(1-13)(KI​KP​​s1)(RL​s1)(1-13)即可实现目标电流环(1.51)(1-14)G电流环​s(1.5Ts​s1)RKpwm​KI​​​(1-14)也就是要满足1.5​KI​KP​​RL​RKpwm​KI​​K1.5Ts​T​(1-15)​之前我们说了Kpwm取1陈伯时老师书中所提的取用ζ 0.707即KT0.5代入1-15即可得到KpKi参数,1.50.5⇒3,3​KI​KP​​RL​,RKI​​1.5Ts​0.5⇒KI​3Ts​R​,KP​3Ts​L​​(1-16)​至此电流环PI参数自整定推导完毕中间很多简化忽略项等本文是一种常见的思路重在推导和思路学习。二、最佳整定补充证明另外补充对于典型I型系统开环传函即公式1-10用ζ0.707、KT0.5为什么稳定最佳。如图3所示这里闭环取单位负反馈-1那么图3中的闭环传函则是闭环开环1开环(1)1(1)21(1-17)G闭环​1G开环​G开环​​1s(Ts1)K​s(Ts1)K​​s2T1​sTK​TK​​(1-17)回想上学时学到经典控制理论中的频域分析对于下面二阶系统Φ()2222(1-18)Φ(s)s22ζωn​sωn​2ωn​2​(1-18)将1-18对照1-17可得到221​ωn​2TK​2ζωn​T1​​(1-19)​如图4这里呢我手绘了一些方便在根轨迹图中理解阻尼比 ζ 对应的输出大致轨迹我也画出来了。可以看出当0ζ1欠阻尼的时候如红色曲线有超调、但很快收敛经典曲线根据书中p67表4-1ζ0.707时超调σ4.3%比较均衡书中有一大段文字分析解释感兴趣可以去看看这本书非常好。所以有2×0.707×1⇒12×0.707⇒0.5(1-20)2×0.707×TK​​T1​⇒KT​2×0.7071​⇒KT0.5(1-20)证毕。三、时域分析一阶惯性环节的特性再另外补充为什么说电机本身是一阶惯性环节以及分析它的特性。回顾公式1-4忽略耦合项等电机可以看作由电阻、电感组成的一阶惯性环节()()()111(1-21)G(s)Vd​(s)Id​(s)​RLs1​RL​s1R1​​(1-21)对照典型一阶惯性环节形式()1(1-22)W(s)Ts1K​(1-22)可以得到增益1KR1​时间常数也常用σ表示TRL​。前面我们一直频域分析现在换个角度从时域分析看看输入输出特性如何给一个阶跃激励看响应对于输入给定单位阶跃激励信号幅值1其时域形式和频域的传函如下(){10≥00()1​r(t){10​t≥0t0​r(s)s1​​(1-23)​那么阶跃响应输出为()()()1()(1-24)C(s)G(s)r(s)s(LsR)1​(1-24)在反拉氏变换将其转换成时域之前先对1-24做一点变形处理假设1()2()()(1-25)s(LsR)1​sA​LsRBsC​s(LsR)Bs2(ALC)sAR​(1-25)则有{00⇒1{10−(1-26)⎩⎨⎧​​B0ALC0⇒AR1​⎩⎨⎧​AR1​B0C−RL​​(1-26)那么式1-24可变换为如下1()1−1(1−1)(1-27)s(LsR)1​sR1​​−LsRRL​​R1​(s1​−sLR​1​)(1-27)参照反拉氏变换表得到时域形式()1(1−−)(≥0)(1-27)y(t)R1​(1−e−LR​t)(t≥0)(1-27)如图5可以从时域中看出一阶惯性环节的阶跃响应天然没有超调不存在突变。