摘要本文档是高等代数全册的精细化中英对照术语手册涵盖多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换和欧几里得空间八大核心篇章。每篇按知识点分层编排提供精确的中英文术语对照适合本科预习、期末复习和考研系统背诵。文档排版规范、层级清晰可直接复制到Word/WPS保存为标准文档。第一篇多项式理论 Polynomial Theory一、数域 Number Field数域 —— Number field有理数域 —— Field of rational numbers ℚ实数域 —— Field of real numbers ℝ复数域 —— Field of complex numbers ℂ整数环 —— Ring of integers ℤ数域的判定条件 —— Criterion of number field二、一元多项式 Polynomial in One Variable一元多项式 —— Polynomial in one variable项 —— Term系数 —— Coefficient常数项 —— Constant term首项 —— Leading term首项系数 —— Leading coefficient多项式次数 —— Degree of polynomial deg f(x)零多项式 —— Zero polynomial零次多项式 —— Zero-degree polynomial (constant non-zero polynomial)多项式相等 —— Equality of polynomials多项式加法 —— Addition of polynomials多项式减法 —— Subtraction of polynomials多项式乘法 —— Multiplication of polynomials多项式次数公式 —— Degree formula for product多项式环 —— Polynomial ring P[x]三、多项式整除 Divisibility of Polynomials整除 —— Divisible被除式 —— Dividend除式 —— Divisor商式 —— Quotient polynomial余式 —— Remainder polynomial带余除法 —— Division algorithm with remainder整除基本性质 —— Basic properties of divisibility公因式 —— Common divisor最大公因式 —— Greatest common divisor (GCD)辗转相除法 —— Euclidean algorithm for polynomials贝祖等式 —— Bézout identity for polynomials互素多项式 —— Coprime polynomials互素充要条件 —— Necessary and sufficient condition for coprimality互素多项式性质 —— Properties of coprime polynomials公倍式 —— Common multiple最小公倍式 —— Least common multiple (LCM)四、不可约多项式与因式分解 Irreducible Polynomial Factorization不可约多项式 —— Irreducible polynomial over number field可约多项式 —— Reducible polynomial不可约多项式性质 —— Properties of irreducible polynomials唯一因式分解定理 —— Unique factorization theorem for polynomials标准分解式 —— Standard factorization form重因式 —— Multiple factor单因式 —— Simple factor重数 —— Multiplicity of factor多项式导数 —— Derivative of polynomial重因式判定定理 —— Criterion for multiple factors分离重因式算法 —— Algorithm to separate multiple factors五、多项式函数与根 Polynomial Function Roots多项式函数 —— Polynomial function多项式在点的值 —— Evaluation of polynomial at a point余数定理 —— Remainder theorem因式定理 —— Factor theorem多项式根 —— Root of polynomial多项式零点 —— Zero point单根 —— Simple root重根 —— Multiple root根的重数 —— Multiplicity of root多项式根的个数定理 —— Theorem on number of roots of polynomial多项式恒等定理 —— Identity theorem for polynomials六、复数域、实数域上多项式 Polynomials over ℂ,ℝ代数基本定理 —— Fundamental theorem of algebra复多项式标准分解 —— Standard factorization over complex field共轭复根定理 —— Conjugate root theorem for real polynomials实域不可约多项式 —— Irreducible polynomial over real field实多项式标准分解 —— Standard factorization over real field七、有理数域上多项式 Polynomials over ℚ本原多项式 —— Primitive polynomial高斯引理 —— Gauss’s lemma有理根定理 —— Rational root theorem艾森斯坦判别法 —— Eisenstein irreducibility criterion变量替换艾森斯坦判别法 —— Eisenstein criterion after variable substitution整系数多项式可约性定理 —— Reducibility theorem for integer-coefficient polynomials八、多元多项式 Multivariate Polynomialsn元多项式 —— n-variable polynomial单项式 —— Monomial单项式次数 —— Total degree of monomial多元多项式次数 —— Total degree of multivariate polynomial字典排序 —— Lexicographic order齐次多项式 —— Homogeneous polynomial对称多项式 —— Symmetric polynomial初等对称多项式 —— Elementary symmetric polynomial对称多项式基本定理 —— Fundamental theorem of symmetric polynomials牛顿公式 —— Newton’s identities反对称多项式 —— Antisymmetric polynomial轮换多项式 —— Cyclic polynomial第二篇行列式 Determinant一、排列 Permutationn级排列 —— Permutation of order n逆序 —— Inversion逆序数 —— Number of inversions奇排列 —— Odd permutation偶排列 —— Even permutation对换 —— Transposition相邻对换 —— Adjacent transposition对换改变排列奇偶性 —— Transposition flips parity of permutationn级对称群 —— Symmetric group Sₙ排列奇偶性定理 —— Parity theorem of permutations二、n阶行列式 n-order Determinant二阶行列式 —— Second-order determinant三阶行列式 —— Third-order determinantn阶行列式定义 —— Definition of n-order determinant行列式项 —— Term of determinant行列式符号 —— Sign of term行列式矩阵记号 —— Matrix notation of determinant |A|, det A三、行列式基本性质 Basic Properties of Determinant转置行列式 —— Transpose determinant det Aᵀdet A换行性质 —— Swap two rows flips determinant sign两行相同行列式为零 —— Zero determinant with two identical rows数乘一行行列式性质 —— k times one row multiplies determinant by k两行成比例行列式为零 —— Zero determinant with proportional rows行拆分可加性 —— Additivity by row decomposition行倍加变换行列式不变 —— Row elimination does not change determinant行列式列性质 —— Column properties (consistent with row properties)四、余子式与代数余子式 Minor Algebraic Cofactor余子式 —— Minor Mᵢⱼ代数余子式 —— Algebraic cofactor Aᵢⱼ(-1)ⁱ⁺ʲMᵢⱼ行列式按行展开定理 —— Laplace expansion along row行列式按列展开定理 —— Laplace expansion along column异行余子式正交性 —— Orthogonality of cofactors across different rows五、特殊行列式 Special Determinants对角行列式 —— Diagonal determinant上三角行列式 —— Upper triangular determinant下三角行列式 —— Lower triangular determinant分块对角行列式 —— Block diagonal determinant分块三角行列式 —— Block triangular determinant范德蒙德行列式 —— Vandermonde determinant反对称行列式 —— Skew-symmetric determinant循环行列式 —— Cyclic determinant六、克拉默法则 Cramer’s Rulen元线性方程组 —— n-variable linear system系数行列式 —— Coefficient determinant克拉默法则 —— Cramer’s rule齐次线性方程组 —— Homogeneous linear system非齐次线性方程组 —— Nonhomogeneous linear system齐次方程组非零解条件 —— Condition for nontrivial solution of homogeneous system第三篇线性方程组 System of Linear Equations一、消元法 Elimination Method线性方程组一般形式 —— General form of linear system增广矩阵 —— Augmented matrix Ā系数矩阵 —— Coefficient matrix A常数项列向量 —— Constant vector b初等行变换 —— Elementary row operation行阶梯形矩阵 —— Row echelon form简化行阶梯形 —— Reduced row echelon form (RREF)高斯消元法 —— Gaussian elimination高斯-若尔当消元法 —— Gauss-Jordan elimination二、矩阵的秩 Rank of Matrixk阶子式 —— k-order minor矩阵的秩 —— Rank of matrix r(A), rank(A)秩的等价定义 —— Equivalent definitions of rank初等变换保秩性 —— Elementary transformations preserve rank行秩 —— Row rank列秩 —— Column rank行秩等于列秩定理 —— Row rank equals column rank矩阵秩不等式 —— Inequalities for matrix rank满秩矩阵 —— Full-rank matrix降秩矩阵 —— Rank-deficient matrix三、线性方程组解判定 Solvability Criterion方程组有解判定定理 —— Consistency theorem: r(A)r(Ā)方程组无解 —— No solution r(A)r(Ā)方程组唯一解 —— Unique solution r(A)r(Ā)number of variables方程组无穷多解 —— Infinitely many solutions r(A)r(Ā)number of variables自由未知量 —— Free unknown variable约束未知量 —— Constrained unknown variable四、n维向量空间 n-dimensional Vector Spacen维向量 —— n-dimensional vector行向量 —— Row vector列向量 —— Column vector向量加法 —— Vector addition数乘向量 —— Scalar multiplication of vector零向量 —— Zero vector 0负向量 —— Negative vector −α向量线性运算八条公理 —— Eight axioms of linear operations五、向量线性相关性 Linear Dependence of Vectors线性组合 —— Linear combination线性表出 —— Linear representation线性相关 —— Linearly dependent线性无关 —— Linearly independent线性相关充要条件 —— Necessary sufficient condition for linear dependence部分相关则整体相关 —— Partial dependence implies global dependence整体无关则部分无关 —— Global independence implies partial independence向量组等价 —— Equivalence of vector groups极大线性无关组 —— Maximal linearly independent subset向量组的秩 —— Rank of vector group替换定理 —— Steinitz exchange lemma向量组秩不等式 —— Rank inequalities for vector groups六、线性方程组解的结构 Structure of Solutions齐次方程组解空间 —— Solution space of homogeneous system基础解系 —— Fundamental system of solutions基础解系向量个数公式 —— Number of fundamental solutions n−r(A)齐次方程组通解 —— General solution of homogeneous system非齐次方程组特解 —— Particular solution of nonhomogeneous system导出组 —— Derived homogeneous system非齐次方程组通解 —— General solution of nonhomogeneous system解向量线性性质 —— Linear properties of solution vectors第四篇矩阵 Matrix一、矩阵基本概念 Basic Matrix Conceptsm×n矩阵 —— m×n matrix方阵 —— Square matrix行矩阵 —— Row matrix列矩阵 —— Column matrix零矩阵 —— Zero matrix O负矩阵 —— Negative matrix −A单位矩阵 —— Identity matrix E, I数量矩阵 —— Scalar matrix kE对角矩阵 —— Diagonal matrix上三角矩阵 —— Upper triangular matrix下三角矩阵 —— Lower triangular matrix对称矩阵 —— Symmetric matrix AᵀA反对称矩阵 —— Skew-symmetric matrix Aᵀ−A矩阵相等 —— Equality of matrices二、矩阵运算 Matrix Operations矩阵加法 —— Matrix addition矩阵减法 —— Matrix subtraction数乘矩阵 —— Scalar multiplication of matrix矩阵乘法 —— Matrix multiplication乘法结合律 —— Associativity of matrix multiplication乘法分配律 —— Distributive laws矩阵乘法非交换性 —— Matrix multiplication is non-commutative矩阵幂 —— Matrix power Aᵏ矩阵转置 —— Transpose of matrix Aᵀ转置运算公式 —— Transpose operation identities方阵行列式 —— Determinant of square matrix det A方阵多项式 —— Polynomial of square matrix f(A)三、可逆矩阵 Invertible Matrix可逆矩阵 —— Invertible / Non-singular matrix不可逆矩阵 —— Singular matrix逆矩阵 —— Inverse matrix A⁻¹伴随矩阵 —— Adjoint matrix adj A, A*伴随矩阵求逆公式 —— Inversion formula: A⁻¹1/det A · A*矩阵可逆充要条件 —— Necessary sufficient condition for invertibility (det A≠0)逆矩阵运算性质 —— Properties of inverse matrix分块对角矩阵逆 —— Inverse of block diagonal matrix四、初等矩阵与初等变换 Elementary Matrix Elementary Transformation三类初等行变换 —— Three types of elementary row operations三类初等列变换 —— Three types of elementary column operations初等矩阵 —— Elementary matrix初等变换等价条件 —— Elementary transformation equals multiplying elementary matrix矩阵等价 —— Equivalence of matrices等价标准形 —— Equivalent canonical form矩阵可逆等价条件 —— Equivalent conditions for invertible matrix初等变换求逆矩阵 —— Matrix inversion via elementary row operations五、分块矩阵 Block Matrix矩阵分块 —— Partition of matrix分块加法 —— Block addition分块数乘 —— Block scalar multiplication分块乘法 —— Block multiplication分块转置 —— Block transpose分块对角矩阵 —— Block diagonal matrix分块三角矩阵 —— Block triangular matrix分块矩阵行列式 —— Determinant of block matrix分块矩阵逆 —— Inverse of block matrix第五篇二次型 Quadratic Form一、二次型定义与矩阵 Definition Matrix of Quadratic Formn元二次型 —— n-variable quadratic form二次型对称矩阵 —— Symmetric matrix of quadratic form二次型的秩 —— Rank of quadratic form rank of its matrix线性替换 —— Linear substitution可逆线性替换 —— Invertible linear substitution替换矩阵 —— Substitution matrix C矩阵合同 —— Congruence of matrices BCᵀAC合同变换 —— Congruence transformation二、二次型标准形与规范形 Standard Normal Form二次型标准形 —— Standard form of quadratic form配方法 —— Completing the square method正交替换法 —— Orthogonal substitution method惯性定理 —— Inertia theorem正惯性指数 —— Positive inertia index p负惯性指数 —— Negative inertia index q符号差 —— Signature of quadratic form sp−q实二次型规范形 —— Normal canonical form over real field复二次型规范形 —— Normal canonical form over complex field三、正定二次型 Positive Definite Quadratic Form正定二次型 —— Positive definite quadratic form负定二次型 —— Negative definite quadratic form半正定二次型 —— Positive semi-definite quadratic form半负定二次型 —— Negative semi-definite quadratic form不定二次型 —— Indefinite quadratic form正定矩阵 —— Positive definite matrix正定矩阵等价判定 —— Equivalent criteria for positive definite matrix顺序主子式 —— Leading principal minor西尔维斯特定理霍尔维茨定理—— Sylvester’s criterion第六篇线性空间 Linear Space一、线性空间定义 Definition of Linear Space数域上线性空间 —— Linear space / Vector space over number field P线性空间向量 —— Vector in linear space加法公理 —— Addition axioms数乘公理 —— Scalar multiplication axioms零元 —— Zero element负元 —— Additive inverse element典型线性空间例子 —— Classic linear spaces: Pⁿ, P[x], Mₘ×ₙ§平凡线性空间 —— Trivial linear space {0}二、维数、基与坐标 Dimension, Basis, Coordinate线性空间向量相关性 —— Linear dependence/independence in space线性空间的基 —— Basis of linear space有限维线性空间 —— Finite-dimensional linear space无限维线性空间 —— Infinite-dimensional linear space空间维数 —— Dimension of space dim V向量在基下的坐标 —— Coordinate of vector under a basis坐标列向量 —— Coordinate column vector基变换公式 —— Basis transformation formula基过渡矩阵 —— Transition matrix between bases坐标变换公式 —— Coordinate transformation formula三、子空间 Subspace子空间 —— Subspace子空间判定条件 —— Subspace test condition生成子空间 —— Generated subspace L(α₁,α₂,…,αₛ)子空间的交 —— Intersection of subspaces V₁∩V₂子空间的和 —— Sum of subspaces V₁V₂维数公式 —— Dimension formula dim(V₁V₂)dim(V₁∩V₂)dim V₁dim V₂子空间直和 —— Direct sum of subspaces V₁⊕V₂直和等价条件 —— Equivalent conditions for direct sum补子空间 —— Complementary subspace四、线性空间同构 Isomorphism of Linear Spaces线性映射 —— Linear map between spaces线性同构 —— Isomorphism同构映射性质 —— Properties of isomorphic map有限维空间同构充要条件 —— Finite-dimensional spaces isomorphic iff equal dimension有限维线性空间分类 —— Classification of finite-dimensional linear spaces第七篇线性变换 Linear Transformation一、线性变换基础 Basic Linear Transformation线性变换 —— Linear transformation A:V→V线性变换判定条件 —— Linear transformation test恒等变换 —— Identity transformation E零变换 —— Zero transformation O数乘变换 —— Scalar transformation kE线性变换加法 —— Addition of linear transformations线性变换数乘 —— Scalar multiplication of linear transformations线性变换乘法复合—— Composition of linear transformations线性变换幂 —— Power of linear transformation Aᵏ线性变换多项式 —— Polynomial of linear transformation f(A)二、线性变换的矩阵 Matrix of Linear Transformation线性变换在基下的矩阵 —— Matrix of linear transformation under a basis向量变换坐标公式 —— Coordinate formula of transformed vector矩阵相似 —— Similar matrices BT⁻¹AT相似矩阵性质 —— Properties of similar matrices变换空间与方阵空间同构 —— Isomorphism between L(V) and Mₙ§三、特征值与特征向量 Eigenvalue Eigenvector特征向量 —— Eigenvector特征值 —— Eigenvalue特征方程 —— Characteristic equation det(λE−A)0特征多项式 —— Characteristic polynomial f(λ)det(λE−A)特征子空间 —— Eigenspace几何重数 —— Geometric multiplicity代数重数 —— Algebraic multiplicity哈密顿-凯莱定理 —— Cayley-Hamilton theorem异特征值特征向量无关性 —— Eigenvectors of distinct eigenvalues are linearly independent四、线性变换对角化 Diagonalization可对角化线性变换 —— Diagonalizable linear transformation可对角化方阵 —— Diagonalizable matrix可对角化充要条件 —— Equivalent diagonalization criteria重数相等条件 —— Geometric multiplicity equals algebraic multiplicityn个线性无关特征向量条件 —— n linearly independent eigenvectors相似对角矩阵 —— Similar diagonal matrix矩阵对角化步骤 —— Diagonalization algorithm五、不变子空间 Invariant SubspaceA-不变子空间 —— A-invariant subspace特征子空间不变性 —— Eigenspace is invariant subspace不变子空间直和分解 —— Direct sum decomposition into invariant subspaces线性变换分块对角矩阵 —— Block diagonal matrix from invariant decomposition循环子空间 —— Cyclic subspace第八篇欧几里得空间 Euclidean Space一、内积与欧氏空间 Inner Product Euclidean Space内积 —— Inner product (α,β)内积四条公理 —— Four axioms of inner product欧几里得空间 —— Euclidean space (real inner product space)向量长度范数—— Length / Norm of vector |α|√(α,α)单位向量 —— Unit vector向量单位化 —— Normalization of vector柯西-施瓦茨不等式 —— Cauchy-Schwarz inequality向量夹角 —— Angle between vectors正交向量 —— Orthogonal vectors (α,β)0正交向量组 —— Orthogonal vector group标准正交向量组 —— Orthonormal vector group二、施密特正交化 Schmidt Orthogonalization施密特正交化算法 —— Schmidt orthogonalization algorithm标准正交基 —— Orthonormal basis标准正交基度量矩阵 —— Metric matrix of orthonormal basis (identity matrix)正交矩阵 —— Orthogonal matrix AᵀA⁻¹正交矩阵性质 —— Properties of orthogonal matrix三、正交变换 Orthogonal Transformation正交变换 —— Orthogonal transformation (inner product preserving)正交变换等价判定 —— Equivalent criteria for orthogonal transformation标准正交基下正交变换矩阵 —— Matrix of orthogonal transformation on orthonormal basis旋转变换 —— Rotation transformation (det A1)反射变换 —— Reflection transformation (det A−1)四、实对称矩阵 Real Symmetric Matrix实对称矩阵特征值实数性 —— All eigenvalues of real symmetric matrix are real异特征值特征向量正交性 —— Eigenvectors of distinct eigenvalues are orthogonal实对称矩阵正交可对角化 —— Real symmetric matrix is orthogonally diagonalizable正交替换化二次型标准形 —— Orthogonal diagonalization of quadratic form五、子空间正交 Orthogonality of Subspaces正交子空间 —— Orthogonal subspaces V₁⊥V₂正交补空间 —— Orthogonal complement V⊥欧氏空间正交直和分解 —— Euclidean space decomposition VV₁⊕V₁⊥正交补唯一性 —— Uniqueness of orthogonal complement向量正交分解 —— Orthogonal decomposition of vector文档说明本文档为高等代数全册精细化中英对照术语手册排版规范、层级清晰无乱码、无格式错误可直接全选复制粘贴至Word/WPS一键保存为标准Word文档适用于本科预习、期末复习、考研一轮系统背诵。