备注该文档为结合ai自学文档如有错误请批评指正。主要以入门为主想要大改了解就直接看《从一个温控模型入门第一次看懂如何用伯德图设计控制器》以及后面的《基于频域设计的更多案例可视化》。能通过图直观看到原理。核心不同频率的信号在控制回路中循环一周后其幅值会被放大多少倍相位会延迟多少。以单位负反馈系统为例名词解释单位负反馈将系统输出 Y 直接反馈回来与参考输入 R 相减得到误差 E R - Y反馈通道中没有额外的传感器增益即反馈通道传递函数 H(s) 1。控制器 C(s)以误差 E 为输入输出控制量并作用于被控对象 G_p(s)最终得到系统输出 Y。开环传递函数 L(s)开环传递函数等于前向通路所有环节传递函数的乘积断开反馈回路从误差输入点出发绕行一周回到反馈点所对应的传递函数。对于单位负反馈系统H 1具体表达为闭环传递函数 、误差传递函数 ()基于频域响应去设计控制器的核心控制器设计不是直接调阶跃响应曲线而是设计开环频率特性。 把代入开环)该频率下信号绕回路一圈幅值放大倍数该频率下信号绕回路一圈相位滞后 / 超前多少度伯德图、奈奎斯特图、裕度相角裕度、增益裕度全部都是研究。 闭环性能超调、带宽、稳态误差全部由开环间接决定。1. 为什么时间系统突然要研究“频率”我们先完全不谈伯德图。假设有一个最简单的一阶系统现在给它三个不同的正弦输入。第一个非常慢第二个快一些第三个很快虽然输入幅值都是 1但你会发现慢信号系统基本跟得上频率升高后输出幅值开始变小同时输出越来越落后于输入。这就是频域分析的出发点同一个系统对不同频率的信号反应是不一样的。2. 那么所谓“频率响应”到底是什么对于一个稳定的线性系统如果给它输入经过开始阶段的暂态以后输出仍然是相同频率的正弦注意频率仍然是系统主要改变两件东西。第一件也就是输出幅值与输入幅值的比值。它告诉我们这个频率经过系统以后被放大还是被削弱了第二件也就是相位差。它告诉我们输出相对于输入提前了还是落后了多少因此研究一个系统对不同频率的反应本质只需要记录输出幅值与输入幅值的比值和相位差3. 为什么传递函数突然从 (G(s)) 变成了 ()频率分析时我们关注的是正弦信号。复指数经过线性系统以后具有一个非常漂亮的性质输出仍然是同一个频率只是在幅值和相位上发生变化。因此把传递函数中的s放到虚轴上得到这个复数就同时包含以及也就是说这个系统对频率为的正弦信号的“处理方式”4. 伯德图到底是什么现在再引出伯德图。伯德图其实没有想象中复杂。就是把和分别画出来。所以伯德图通常由两张图组成。上面[幅频图]下面[相频图]横轴都是也就是角频率单位通常是5. 为什么横坐标要用对数控制系统涉及的频率范围可能非常大。例如0.001一直到1000如果使用普通坐标低频全部挤在原点附近。因此采用0.01,0.1,1,10,100这种对数尺度。每增加 10 倍称为一个 decade。也就是是一个 decade也是一个 decade。所以以后看到意思就是频率每增加 10 倍幅值下降 20 dB。大于转折频率之后直线向下倾斜每往右走一个十倍格纵坐标往下掉 20 格 dB。什么是转折频率通俗易懂版例如一阶惯性环节转折截止频率一、幅值响应完整推导传递函数频域下令复数 (ajb) 的模分母实部(1)虚部(2)换算分贝二、分区间代入数值计算1小于截止频率分析幅值接近 1几乎 0dB。信号变化慢系统基本完全跟随输入几乎不衰减。2等于截止频率分析经典 - 3dB 点输出只剩输入的 70.7%刚好来到跟随和衰减的分界线。3大于截止频率×10 倍于转折频率分析输出幅值≈0.1只有输入的 1/10。超过截止频率频率越高衰减越大频率每增大 10 倍幅值缩小 10 倍‑20 dB/dec。再验证再 ×10对应‑40dB幅值又缩小 10 倍。小结几乎无衰减伯德图水平幅值和频率成反比斜率‑20dB/dec‑3dB 分界点。6. 为什么幅值还要变成 dB伯德图一般不直接画|G|而画单位就是最重要的几个对应关系其中最重要的是后面所谓“增益交越频率”就是从这里来的。7. 第一张真正的伯德图仍然使用它的频率响应是幅值相位相位通用计算公式相位输出信号相对输入正弦信号滞后多少角度。 分式相位 分子相位 − 分母相位。负号代表输出相位滞后于输入。单位度 (°)从一个温控模型入门第一次看懂如何用伯德图设计控制器1. 从工程现场开始我先得到一个模型假设现在有一个加热设备。假设最终的模型为假设最后得到这里的就是被控对象模型。2. 拿到模型以后第一步不是调 PID很多初学者第一反应可能是有模型了赶快算 Kp,Ki,KdK_p,K_i,K_d。先不要。应该先看看这个设备本身是什么脾气 - 这个设备本身是什么脾气。这就是对象伯德图第一次发挥作用的地方。我们先画自己的 Bode 图。3. 伯德图先不要学怎么画只学“怎么看”伯德图不用纠结手画会看就行软件Python/MATLAB能直接生成。横坐标 ω信号变化快慢越往右ω 越大 → 信号变化越快。幅频图上半张问题不同快慢的信号经过这个系统之后幅度被放大 / 衰减到多大数值大信号进来之后还很强数值往下掉快的信号被系统削弱了相频图下半张问题不同快慢的信号经过系统之后时间上滞后了多少 相位负数越大代表信号滞后越严重。5. 这两张图怎么分析刚看伯德图不用记一堆参数先抓大趋势频率越高被控对象越跟不上指令幅频图看 “跟不跟得上幅度”ω 变大信号变化变快→幅值往下掉。 拿加热系统举例加热功率慢悠悠变化温度可以很好跟随加热功率来回快速跳动温度根本来不及变化输出幅度被压得很低。相频图看 “滞后有多严重”ω 变大 →相位越来越负。 负相位就代表反应滞后、动作来晚了 -‑30°只是稍微慢一点点 ‑150°滞后已经非常严重。为什么滞后会造成振荡反馈控制核心逻辑控制器逻辑温度低→加大加热功率。 但对象滞后很大的时候 控制器一直在加大加热温度迟迟不上涨控制器就继续加码输出 等到之前加热的效果姗姗来迟温度直接冲超目标 控制器又立刻反向降温又会滞后又冲反方向。 一来一回就发生来回超调、系统振荡。核心直觉你想让系统跑的越快就越会撞上被控对象本身固有的滞后滞后大就容易振荡。6. 现在加入最简单的控制器只使用比例控制器为什么先用它因为它特别简单。只改变控制力度不增加新的动态。于是整个开环变成L(s)Kp​Gp​(s)​7. 为什么现在不再只看而要看实际系统运行时是闭环闭环传递函数为定义那么所以虽然真正运行的是闭环但是控制器 C 和对象串在一起以后形成的决定了闭环会变成什么样。因此对象的Bode图是“认识设备”而的Bode图才是设计控制器时真正要反复看的​8. 第一次只学 Bode 图上的两个数字为了入门现在只学和其他东西全部以后再说。8.1 什么是观察的幅频图。找到它穿过的位置。那个频率就叫增益交越频率。因为0 dB实际上就是∣L∣1第一次学习时可以把ωc理解成控制回路大致能做到多快一般来说ωc​↑⇒闭环响应变快​8.2 什么是 PM找到ωc以后不要换位置。就在同一个频率看下面的相频图。假设那里是距离还有那么如果相位已经那么可以先这样理解 PMPM就是系统在当前控制速度下距离“反馈太晚、容易振荡”还有多少余量所以PM大通常比较平稳。PM小通常更容易超调和振荡。9. 现在频域设计突然变得非常简单了对于提高会把整个开环幅频曲线往上抬。相位曲线却基本不变。于是Kp↑会导致 0 dB 交越位置往右移动ωc↑系统变快。但是右边的对象相位通常更负。于是PM↓因此Kp增大⇒系统更快⇒但稳定余量越来越小这就是频域控制设计第一次真正应该理解的东西快和稳之间存在折中​10. 用我们的对象实际试三个控制速度对于假设我们分别希望交越频率为只要选择不同的就可以把开环 0 dB 点推到不同位置。大概会得到真正发生的是Kp→改变ωc→改变控制速度但是由于ωc的位置变了我们看到的对象相位也变了于是PM也跟着改变最终表现到时域就是速度与振荡程度同时改变​不同wc的可视化总结:对于最简单的比例控制提高 KpKp↑⇒ωc↑⇒系统更快但是通常ωc↑⇒对象相位更差⇒PM↓⇒系统更加振荡所以频域设计最初级、也是最核心的思想就是控制器设计不是把增益越调越大而是在“快”和“稳”之间找到合适的位置。​基于频域设计的更多案例可视化为了方便看懂图当中的对比下面图当中的图内容遵循一下定义“没有控制器”的定义所以无额外控制器时的开环是无额外控制器时的闭环是加入控制器以后P控制Gp 1 / (5*s 1)C 4PI控制Gp 2 / (8*s 1)C 2 * (1 1/(4*s))超前控制分子时间常数更大。输出正相位相位往前推作用提供相位裕度把往右推加快闭环响应速度伯德图中间一段相位向上凸起正相位滞后控制Gp 1 / (2*s 1)C 10 * (1 10*s)/(1 100*s)传递函数标准形式分母时间常数更大。会产生负相位相位往后拖滞后作用压低低频增益提高稳态精度几乎不改变穿越频率\(w_c\)不怎么改动响应速度伯德低频抬升增益高频衰减相位向下凹负相位PID控制实际带滤波 PID 可以写成可以粗略看成P调总体强度I负责低频D负责交越附近的正相位所以 PID 并不神秘本质还是在塑造LCGp的伯德图。总结P 控制主要通过整体抬高开环增益把交越频率往右推让系统响应更快P 本身不加相位但由于交越点跑到更高频PM 往往会变小。PI 控制主要把低频增益做高用来消除稳态误差但会带来额外负相位因此可能让相位裕度变小、系统更容易振荡。Lead 超前补偿主要在交越频率附近“补正相位”提高 PM让系统在不明显降低速度的情况下变得更稳。Lag 滞后补偿主要提高低频增益同时尽量少影响原来的交越频率用来改善稳态精度和慢扰动抑制。PID 控制P 负责整体速度I 负责低频精度D 负责交越附近补相位本质上是同时兼顾“快、准、稳”