摘要本文针对离散无记忆信道DMC中一类重要的信道——准对称信道Quasi-Symmetric Channel对其信道容量的“矩阵分解法”计算公式进行了严格的数学推导与证明。通过将转移概率矩阵划分为若干互不相交的对称子矩阵结合信息论中熵的极值理论、输出符号概率分布的重构以及矩阵元素双重计数法Double Counting完整论证了当输入符号等概分布时信道达到最大互信息并推导出其信道容量的闭式表达式。最终通过一个全新构建的三阶非对称微调矩阵进行了算例验证。一、 基本概念与问题描述1.1 准对称离散无记忆信道定义设离散无记忆信道的输入符号集为输出符号集为。信道的转移概率矩阵为其大小为若矩阵可以按列划分为个互不相交的子矩阵且每一个子矩阵大小为都满足“每一行都是其他行的置换排列每一列都是其他列的置换”则称该信道为准对称信道。1.2 参数定义根据准对称信道的强对称几何性质对于任意第个子矩阵行元素之和因每行元素相同或互为置换其行和在子矩阵内部均相等记为。列元素之和因每列元素相同或互为置换其列和在子矩阵内部均相等记为。输入行向量性质由于各个子矩阵拼接后构成完整的整个矩阵的任意一行所包含的元素集合是完全相同的将其总集记为其中为总列数。二、 核心定理对于输入符号数为的准对称离散无记忆信道其信道容量可由下式唯一确定其中表现为转移概率矩阵中任意一行的条件熵。三、 数学证明与推导步骤 1条件熵的恒等性与容量公式简化由于信道具有行置换对称性对于任意指定的输入符号其条件熵为常数由于该值与具体的输入状态无关因此平均条件熵可以直接提取平移根据信道容量的定义由于HY|X已被固定极大化互信息等价于极大化输出熵步骤 2等概输入分布的合理性论证设输入概率分布为。输出熵是输入分布的严格凹函数Strictly Concave Function。由于准对称矩阵中各行可以通过置换相互转换系统对任意输入符号具有代数对称性。根据凸优化中的对称性定理当且仅当输入满足均匀的等概分布时输出熵达到全局极大值步骤 3子矩阵规模的几何双重计数Double Counting考虑第个子矩阵其行数为设其列数为。我们通过行、列两种不同的视角来计算该子矩阵内所有元素的总和按行求和每行和为共行按列求和每列和为共列由此建立拓扑恒等式由于各个子矩阵空间互不相交且全覆盖总矩阵根据全概率限制原始矩阵每一行的总和必须为。因此有步骤 4等概输入下的输出概率分布计算将等概分布代入全概率公式任意一个输出符号的概率为其中为第列的列和。若该列隶属于第个子矩阵则其列和必然为。因此隶属于同一子矩阵的所有输出符号概率完全简并步骤 5输出熵 H(Y)的代数展开与化简根据输出熵定义引入子矩阵指标进行分组求和由于第个分组中共有个元素上式简化为将步骤3中的几何归约式代入利用对数性质展开并分离项结合归一化条件输出熵的极大值精简为步骤 6合成信道容量闭式解将极大输出熵与平均条件熵代入容量定义式即得证毕。四、实例验证为了验证上述推导的普适性我们自行构建一个具有 2 个输入符号、4 个输出符号,的全新准对称信道。其转移概率矩阵设为1. 传统方法计算对照组输入等概。条件熵每行均为故输出概率输出熵信道容量2. 矩阵分解法计算实验组将矩阵拆分为三个不相交的对称子矩阵)子矩阵前两列行和列和子矩阵第三列行和列和子矩阵第四列行和列和代入本文证明的矩阵分解公式合并后两项因为计算该项的值最终求得容量结论通过全新的三子矩阵数据进行验算矩阵分解法求得的容量与定义法完全一致再次证明了该定理推导的无误性与严密性。