文章目录安装Jaynes-Cummings模型QuTip建模求解与可视化安装QuTiPQuantum Toolbox in Python顾名思义就是Python的量子工具箱用于模拟开放量子系统的动力学过程并处理量子信息问题。它在量子光学、量子计算、凝聚态物理和量子热力学等领域是极其重要的标准工具。其最新版本安装非常便捷和之前各种依赖判若两库pip install qutip-i https://pypi.tuna.tsinghua.edu.cn/simpleJaynes-Cummings模型下面用QuTiP对Jaynes-Cummings(JC)模型进行仿真。所谓JC模型描述的是二能级原子与单模量子化光场之间的相互作用。JC模型基于两个假设二能级近似假设原子只有两个相关的能级基态∣ g ⟩ |g\rangle∣g⟩和激发态∣ e ⟩ |e\rangle∣e⟩跃迁频率为ω a \omega_aωa忽略其他能级。单模场近似假设光场只包含一个频率为ω c \omega_cωc的电磁场模式。此外在推导相互作用时使用了两个关键近似偶极近似假设光场的波长远大于原子的尺寸因此原子所在区域的光场是均匀的。旋波近似 (Rotating Wave Approximation, RWA)忽略相互作用项中的不守恒项。在自然单位制ℏ 1 \hbar 1ℏ1下JC哈密顿量H J C H_{JC}HJC由三部分组成H J C H a t o m H f i e l d H i n t H a t o m 1 2 ω a σ z , σ z ∣ e ⟩ ⟨ e ∣ − ∣ g ⟩ ⟨ g ∣ H f i e l d ω c a † a H i n t g ( σ a σ − a † ) , σ ∣ e ⟩ ⟨ g ∣ , σ − ∣ g ⟩ ⟨ e ∣ \begin{aligned} H_{JC} H_{atom} H_{field} H_{int}\\ H_{atom} \frac{1}{2} \omega_a \sigma_z,\quad \sigma_z |e\rangle\langle e| - |g\rangle\langle g|\\ H_{field} \omega_c a^\dagger a\\ H_{int} g (\sigma_ a \sigma_- a^\dagger),\quad \sigma_ |e\rangle\langle g|,\quad \sigma_- |g\rangle\langle e| \end{aligned}HJCHatomHfieldHintHatomHfieldHint21ωaσz,σz∣e⟩⟨e∣−∣g⟩⟨g∣ωca†ag(σaσ−a†),σ∣e⟩⟨g∣,σ−∣g⟩⟨e∣其中H a t o m H_{atom}Hatom是原子自由哈密顿量σ z \sigma_zσz是Pauli Z算符H f i e l d H_{field}Hfield是光场自由哈密顿量a † a^\daggera†和a aa分别是光子的产生和湮灭算符a † a n ^ a^\dagger a \hat{n}a†an^是光子数算符H i n t H_{int}Hint是相互作用哈密顿量σ , σ − \sigma_, \sigma_-σ,σ−分别是原子上升算符和下降算符。在JC模型中总激发数算符N ^ a † a σ σ − n ^ 1 2 ( σ z 1 ) \hat Na^\dagger a \sigma_ \sigma_- \hat{n} \frac{1}{2}(\sigma_z 1)N^a†aσσ−n^21(σz1)且满足对易关系[ H J C , N ^ ] 0 [H_{JC}, \hat{N}] 0[HJC,N^]0也就是说N ^ \hat NN^是守恒量。这个守恒量将无限大的希尔伯特空间切割成了一个个独立的二维子空间。对于任意光子数n nn子空间由基矢{ ∣ e , n ⟩ , ∣ g , n 1 ⟩ } \{|e, n\rangle, |g, n1\rangle\}{∣e,n⟩,∣g,n1⟩}张成。在这个二维子空间内哈密顿量可以写成一个2 × 2 2 \times 22×2矩阵从而可以极其简单地求出本征值和本征态称为缀饰态 Dressed States。QuTip建模QuTip内置了湮灭算符、下降算符、Pauli Z算符等。下面考虑最多14个光子数对JC模型代码化importqutip N15aqutip.destroy(N)# 光场湮灭算符 asmqutip.sigmam()# 原子下降算符 sigma_- (|ge|)szqutip.sigmaz()# 原子 Pauli Z 算符 sigma_za_opqutip.tensor(a,qutip.qeye(2))sm_opqutip.tensor(qutip.qeye(N),sm)sz_opqutip.tensor(qutip.qeye(N),sz)w1.0# 共振频率: w_a w_c wg0.1# 耦合强度 (满足弱耦合条件 g w确保旋波近似有效)H_atom0.5*w*sz_op H_fieldw*a_op.dag()*a_op H_intg*(sm_op.dag()*a_opsm_op*a_op.dag())HH_atomH_fieldH_int【tensor】用于计算克罗内克积【qeye】用于生成单位矩阵二者结合其目的是将光子和原子的状态矩阵张成相同的维度。代码其他部分几乎就是按照前面的JC模型抄下来的。求解与可视化下面对JC模型进行求解得到腔内光子数和原子处于激发态概率的关系如下图所示。从图像可知一开始原子处于激发态腔内没有光子。随着时间推移原子将能量释放给光场激发态概率下降光子数上升。当光子数达到峰值时原子基本回到基态二者之间不断交换能量周而复始直到把能量耗光。代码如下importnumpyasnpimportmatplotlib.pyplotasplt plt.rcParams[font.sans-serif]Times New Romanpsi0qutip.tensor(qutip.fock(N,0),qutip.basis(2,0))tlistnp.linspace(0,50,500)# 时间列表c_ops[np.sqrt(0.05)*a_op]# 腔的耗散率为0.05e_ops[a_op.dag()*a_op,(sz_opqutip.tensor(qutip.qeye(N),qutip.qeye(2)))/2]resultqutip.mesolve(H,psi0,tlist,c_opsc_ops,e_opse_ops)plt.figure(figsize(8,5))plt.plot(tlist,result.expect[0],labelCavity Photon Number n,linewidth2)plt.plot(tlist,result.expect[1],labelAtom Excited Population P_e,linewidth2,linestyle--)plt.xlabel(Time,fontsize12)plt.ylabel(Expectation Values,fontsize12)plt.title(Vacuum Rabi Oscillation with Cavity Decay (Full JC Model),fontsize14)plt.legend(fontsize11)plt.grid(True,alpha0.6)plt.tight_layout()plt.show()ψ 0 \psi_0ψ0为系统的初始态这是由Fock态和原子态做克罗内克积张成的矩阵。【c_ops】是坍缩算符用来描述系统与外部环境发生相互作用导致的能量耗散正因为有了这个上图能量才会耗光。【e_ops】是期望值算符。在上面的代码中手动实现了光子数和激发概率的期望。 Qutip初步，求解Jaynes-Cummings模型
文章目录安装Jaynes-Cummings模型QuTip建模求解与可视化安装QuTiPQuantum Toolbox in Python顾名思义就是Python的量子工具箱用于模拟开放量子系统的动力学过程并处理量子信息问题。它在量子光学、量子计算、凝聚态物理和量子热力学等领域是极其重要的标准工具。其最新版本安装非常便捷和之前各种依赖判若两库pip install qutip-i https://pypi.tuna.tsinghua.edu.cn/simpleJaynes-Cummings模型下面用QuTiP对Jaynes-Cummings(JC)模型进行仿真。所谓JC模型描述的是二能级原子与单模量子化光场之间的相互作用。JC模型基于两个假设二能级近似假设原子只有两个相关的能级基态∣ g ⟩ |g\rangle∣g⟩和激发态∣ e ⟩ |e\rangle∣e⟩跃迁频率为ω a \omega_aωa忽略其他能级。单模场近似假设光场只包含一个频率为ω c \omega_cωc的电磁场模式。此外在推导相互作用时使用了两个关键近似偶极近似假设光场的波长远大于原子的尺寸因此原子所在区域的光场是均匀的。旋波近似 (Rotating Wave Approximation, RWA)忽略相互作用项中的不守恒项。在自然单位制ℏ 1 \hbar 1ℏ1下JC哈密顿量H J C H_{JC}HJC由三部分组成H J C H a t o m H f i e l d H i n t H a t o m 1 2 ω a σ z , σ z ∣ e ⟩ ⟨ e ∣ − ∣ g ⟩ ⟨ g ∣ H f i e l d ω c a † a H i n t g ( σ a σ − a † ) , σ ∣ e ⟩ ⟨ g ∣ , σ − ∣ g ⟩ ⟨ e ∣ \begin{aligned} H_{JC} H_{atom} H_{field} H_{int}\\ H_{atom} \frac{1}{2} \omega_a \sigma_z,\quad \sigma_z |e\rangle\langle e| - |g\rangle\langle g|\\ H_{field} \omega_c a^\dagger a\\ H_{int} g (\sigma_ a \sigma_- a^\dagger),\quad \sigma_ |e\rangle\langle g|,\quad \sigma_- |g\rangle\langle e| \end{aligned}HJCHatomHfieldHintHatomHfieldHint21ωaσz,σz∣e⟩⟨e∣−∣g⟩⟨g∣ωca†ag(σaσ−a†),σ∣e⟩⟨g∣,σ−∣g⟩⟨e∣其中H a t o m H_{atom}Hatom是原子自由哈密顿量σ z \sigma_zσz是Pauli Z算符H f i e l d H_{field}Hfield是光场自由哈密顿量a † a^\daggera†和a aa分别是光子的产生和湮灭算符a † a n ^ a^\dagger a \hat{n}a†an^是光子数算符H i n t H_{int}Hint是相互作用哈密顿量σ , σ − \sigma_, \sigma_-σ,σ−分别是原子上升算符和下降算符。在JC模型中总激发数算符N ^ a † a σ σ − n ^ 1 2 ( σ z 1 ) \hat Na^\dagger a \sigma_ \sigma_- \hat{n} \frac{1}{2}(\sigma_z 1)N^a†aσσ−n^21(σz1)且满足对易关系[ H J C , N ^ ] 0 [H_{JC}, \hat{N}] 0[HJC,N^]0也就是说N ^ \hat NN^是守恒量。这个守恒量将无限大的希尔伯特空间切割成了一个个独立的二维子空间。对于任意光子数n nn子空间由基矢{ ∣ e , n ⟩ , ∣ g , n 1 ⟩ } \{|e, n\rangle, |g, n1\rangle\}{∣e,n⟩,∣g,n1⟩}张成。在这个二维子空间内哈密顿量可以写成一个2 × 2 2 \times 22×2矩阵从而可以极其简单地求出本征值和本征态称为缀饰态 Dressed States。QuTip建模QuTip内置了湮灭算符、下降算符、Pauli Z算符等。下面考虑最多14个光子数对JC模型代码化importqutip N15aqutip.destroy(N)# 光场湮灭算符 asmqutip.sigmam()# 原子下降算符 sigma_- (|ge|)szqutip.sigmaz()# 原子 Pauli Z 算符 sigma_za_opqutip.tensor(a,qutip.qeye(2))sm_opqutip.tensor(qutip.qeye(N),sm)sz_opqutip.tensor(qutip.qeye(N),sz)w1.0# 共振频率: w_a w_c wg0.1# 耦合强度 (满足弱耦合条件 g w确保旋波近似有效)H_atom0.5*w*sz_op H_fieldw*a_op.dag()*a_op H_intg*(sm_op.dag()*a_opsm_op*a_op.dag())HH_atomH_fieldH_int【tensor】用于计算克罗内克积【qeye】用于生成单位矩阵二者结合其目的是将光子和原子的状态矩阵张成相同的维度。代码其他部分几乎就是按照前面的JC模型抄下来的。求解与可视化下面对JC模型进行求解得到腔内光子数和原子处于激发态概率的关系如下图所示。从图像可知一开始原子处于激发态腔内没有光子。随着时间推移原子将能量释放给光场激发态概率下降光子数上升。当光子数达到峰值时原子基本回到基态二者之间不断交换能量周而复始直到把能量耗光。代码如下importnumpyasnpimportmatplotlib.pyplotasplt plt.rcParams[font.sans-serif]Times New Romanpsi0qutip.tensor(qutip.fock(N,0),qutip.basis(2,0))tlistnp.linspace(0,50,500)# 时间列表c_ops[np.sqrt(0.05)*a_op]# 腔的耗散率为0.05e_ops[a_op.dag()*a_op,(sz_opqutip.tensor(qutip.qeye(N),qutip.qeye(2)))/2]resultqutip.mesolve(H,psi0,tlist,c_opsc_ops,e_opse_ops)plt.figure(figsize(8,5))plt.plot(tlist,result.expect[0],labelCavity Photon Number n,linewidth2)plt.plot(tlist,result.expect[1],labelAtom Excited Population P_e,linewidth2,linestyle--)plt.xlabel(Time,fontsize12)plt.ylabel(Expectation Values,fontsize12)plt.title(Vacuum Rabi Oscillation with Cavity Decay (Full JC Model),fontsize14)plt.legend(fontsize11)plt.grid(True,alpha0.6)plt.tight_layout()plt.show()ψ 0 \psi_0ψ0为系统的初始态这是由Fock态和原子态做克罗内克积张成的矩阵。【c_ops】是坍缩算符用来描述系统与外部环境发生相互作用导致的能量耗散正因为有了这个上图能量才会耗光。【e_ops】是期望值算符。在上面的代码中手动实现了光子数和激发概率的期望。